(3 pontos) Deduza a expressão da impedância fasorial de um capacitor.
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir a expressão da impedância fasorial de um capacitor, ou seja, encontrar a relação entre a fasor-tensão e a fasor-corrente do capacitor na regime senoidal permanente e escrever isso na forma de uma impedância complexa.
Informações e convenções que vamos usar (tudo retirado do enunciado implícito sobre capacitores e regime senoidal):
- A relação no domínio do tempo para um capacitor é
, onde: -
é a corrente instantânea (em A), -
é a tensão instantânea (em V), -
é a capacitância (em F).
-
- Vamos assumir excitação senoidal de frequência
(ou pulsação ). A representação complexa (exponencial) é prática: escrever a tensão como , onde é o fasor (amplitude complexa) da tensão. - Definição de impedância fasorial:
, onde é o fasor da corrente. - Símbolo
é a unidade imaginária ( ); usamos em eletrônica em vez de .
Passo 2
Relembrando o conceito de fasor e a propriedade da derivada no domínio fasorial:
- Se uma grandeza no tempo é dada por
, então o seu fasor é . - A derivada temporal corresponde, no domínio das exponenciais complexas, à multiplicação por
. Isto porque, para a função complexa ,
- Portanto, ao passar para fasores, a operação
vira multiplicação por . Essa é a ferramenta chave: transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica entre fasores.
Passo 3
Aplicar a propriedade da derivada ao capacitor:
- Começamos da relação no tempo do capacitor:
- Escrevemos a tensão como fasor:
. Então a derivada é
- Assim, a corrente instantânea é
- A partir daí identificamos o fasor da corrente:
Expliquei passo a passo: a multiplicação por
saiu da derivada e o fator
ficou multiplicando; o termo complexo
multiplica o fasor de tensão para dar o fasor de corrente.
Passo 4
Definir a impedância e obter a expressão final:
- Pela definição de impedância fasorial,
- Substituindo
obtemos
- Essa é a expressão buscada. Podemos manipular para formas alternativas úteis:
- Multiplicando numerador e denominador por
(já que ):
- Módulo e argumento:
- Multiplicando numerador e denominador por
- Aqui cada símbolo significa:
-
é a impedância complexa (em ), -
é a pulsação ( ), -
é a capacitância (F), -
é a unidade imaginária.
-
Passo 5
Interpretação física e dicas para a prova:
- Magnitude
mostra que a impedância de um capacitor diminui com a frequência: em alta frequência o capacitor “deixa passar” corrente facilmente; em baixa frequência oferece grande oposição. - Fase
significa que a corrente adianta a tensão em (ou a tensão atrasa em ). Em termos de fasores: tem fator que corresponde a avanço de para a corrente em relação à tensão. - Em provas: comece sempre da equação no tempo
, passe para a representação exponencial complexa e use a regra "derivada -> multiplicar por ". Isso evita integrais e torna a conta direta.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar; dá para fazer sem calculadora com aproximações):
- Suponha
e , então . - Módulo da impedância:
- Fase:
. Isso ilustra como usar a fórmula na prática.