(3 pontos) Deduza a expressão da impedância fasorial de um capacitor.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir a expressão da impedância fasorial de um capacitor, ou seja, encontrar a relação entre a fasor-tensão e a fasor-corrente do capacitor na regime senoidal permanente e escrever isso na forma de uma impedância complexa.
Informações e convenções que vamos usar (tudo retirado do enunciado implícito sobre capacitores e regime senoidal):
  • A relação no domínio do tempo para um capacitor é \,i(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}\,, onde:
    • \,i(t)\, é a corrente instantânea (em A),
    • \,v(t)\, é a tensão instantânea (em V),
    • \,C\, é a capacitância (em F).
  • Vamos assumir excitação senoidal de frequência \,f\, (ou pulsação \,\omega=2\pi f\,). A representação complexa (exponencial) é prática: escrever a tensão como \;v(t)=\mathrm{Re}\{\tilde{V}e^{j\omega t}\}\;, onde \tilde{V} é o fasor (amplitude complexa) da tensão.
  • Definição de impedância fasorial: \;Z=\dfrac{\tilde{V}}{\tilde{I}}\;, onde \tilde{I} é o fasor da corrente.
  • Símbolo j é a unidade imaginária ( j^2=-1); usamos j em eletrônica em vez de i.

Passo 2

Relembrando o conceito de fasor e a propriedade da derivada no domínio fasorial:
  • Se uma grandeza no tempo é dada por \;x(t)=\mathrm{Re}\{\tilde{X}e^{j\omega t}\}\;, então o seu fasor é \tilde{X}.
  • A derivada temporal corresponde, no domínio das exponenciais complexas, à multiplicação por j\omega. Isto porque, para a função complexa \tilde{X}e^{j\omega t},
\frac{d}{dt}\big(\tilde{X}e^{j\omega t}\big)=j\omega\,\tilde{X}e^{j\omega t}.
  • Portanto, ao passar para fasores, a operação \dfrac{d}{dt} vira multiplicação por j\omega. Essa é a ferramenta chave: transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica entre fasores.

Passo 3

Aplicar a propriedade da derivada ao capacitor:
  • Começamos da relação no tempo do capacitor:
i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
  • Escrevemos a tensão como fasor: \;v(t)=\mathrm{Re}\{\tilde{V}e^{j\omega t}\}\;. Então a derivada é
\frac{dv(t)}{dt}=\mathrm{Re}\{j\omega\,\tilde{V}e^{j\omega t}\}.
  • Assim, a corrente instantânea é
i(t)=C\,\mathrm{Re}\{j\omega\,\tilde{V}e^{j\omega t}\}=\mathrm{Re}\{(j\omega C\,\tilde{V})e^{j\omega t}\}.
  • A partir daí identificamos o fasor da corrente:
\tilde{I}=j\omega C\,\tilde{V}.
Expliquei passo a passo: a multiplicação por j\omega saiu da derivada e o fator C ficou multiplicando; o termo complexo j\omega C multiplica o fasor de tensão para dar o fasor de corrente.

Passo 4

Definir a impedância e obter a expressão final:
  • Pela definição de impedância fasorial,
Z=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.
  • Substituindo \tilde{I}=j\omega C\,\tilde{V} obtemos
Z=\frac{\tilde{V}}{j\omega C\,\tilde{V}}=\frac{1}{j\omega C}.
  • Essa é a expressão buscada. Podemos manipular para formas alternativas úteis:
    • Multiplicando numerador e denominador por -j (já que \dfrac{1}{j}=-j):
    Z=-\frac{j}{\omega C}.
    • Módulo e argumento:
    |Z|=\frac{1}{\omega C},\qquad \arg(Z)=-\frac{\pi}{2}\\ (\text{o que equivale a }-90^\circ).
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \,Z\, é a impedância complexa (em \Omega),
    • \,\omega\, é a pulsação ( \,2\pi f\,),
    • \,C\, é a capacitância (F),
    • \,j\, é a unidade imaginária.

Passo 5

Interpretação física e dicas para a prova:
  • Magnitude \dfrac{1}{\omega C} mostra que a impedância de um capacitor diminui com a frequência: em alta frequência o capacitor “deixa passar” corrente facilmente; em baixa frequência oferece grande oposição.
  • Fase -90^\circ significa que a corrente adianta a tensão em 90^\circ (ou a tensão atrasa em 90^\circ). Em termos de fasores: \tilde{I}=(j\omega C)\tilde{V} tem fator j que corresponde a avanço de +90^\circ para a corrente em relação à tensão.
  • Em provas: comece sempre da equação no tempo \,i=C\,dv/dt, passe para a representação exponencial complexa e use a regra "derivada -> multiplicar por j\omega". Isso evita integrais e torna a conta direta.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar; dá para fazer sem calculadora com aproximações):
  • Suponha \,C=1{,}0\\ \mu\text{F}=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{F} e f=1{,}0\\ \text{kHz}, então \,\omega=2\pi f\approx6{,}283\\ \text{rad/s}.
  • Módulo da impedância:
|Z|=\frac{1}{\omega C}\approx\frac{1}{6{,}283\times 1{,}0\times10^{-6}}\approx 159{,}2\\ \Omega.
  • Fase: -90^\circ. Isso ilustra como usar a fórmula na prática.

Resposta

\displaystyle Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}

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