(1 ponto) Calcule o valor RMS de uma tensão v(t)=170 \cos (377 t) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado dá a tensão
v(t)=170\cos(377t)\\ \text{V}
e pede para calcular o valor RMS (valor eficaz) dessa tensão.
Informações relevantes que temos:
  • Amplitude (valor de pico): V_p=170\\ \text{V} (peguei isso do enunciado).
  • Frequência angular: \omega=377\\ \mathrm{rad/s} (peguei isso do enunciado).
  • O que se pede: o valor RMS, normalmente denotado por V_{\mathrm{rms}}.

Passo 2

Definição que vamos usar (fórmula do RMS para um sinal periódico):
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} v^2(t)\,\mathrm{d}t},
onde:
  • T é o período do sinal (o tempo de uma repetição completa),
  • v(t) é a tensão instantânea,
  • t_0 é qualquer instante (a média sobre um período independe da escolha de t_0).
Explicação curta: o RMS é a raiz quadrada da média do quadrado da tensão ao longo de um período — dá a tensão DC que produziria a mesma potência média numa carga resistiva.

Passo 3

Calcular v^2(t) e substituir na fórmula:
v^2(t)=\bigl(170\cos(377t)\bigr)^2=170^2\cos^2(377t).
Então
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}170^2\cos^2(377t)\,\mathrm{d}t} =170\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\cos^2(377t)\,\mathrm{d}t}.
Agora usamos a identidade trigonométrica (muito útil):
\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=377t:
\cos^2(377t)=\frac{1+\cos(754t)}{2}.

Passo 4

Substituindo a identidade dentro da integral:
\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\cos^2(377t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\frac{1+\cos(754t)}{2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{2}+\frac{1}{2T}\int_{t_0}^{t_0+T}\cos(754t)\,\mathrm{d}t.
A segunda integral é zero porque \cos(754t) é uma função periódica com período \tfrac{2\pi}{754} e sobre um intervalo de comprimento T=\tfrac{2\pi}{377} (= duas vezes o seu período) a média é zero. Portanto
\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\cos^2(377t)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}.

Passo 5

Voltando para V_{\mathrm{rms}}:
V_{\mathrm{rms}}=170\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{170}{\sqrt{2}}.
Podemos simplificar escrevendo \dfrac{170}{\sqrt{2}}=85\sqrt{2}. Calculando numericamente:
85\sqrt{2}\approx 120,2\\ \text{V}.
Observação prática: para qualquer sinal senoidal \,A\cos(\omega t+\varphi)\, vale sempre V_{\mathrm{rms}}=A/\sqrt{2}. Então decorar essa regra economiza tempo na prova.

Resposta

V_{\mathrm{rms}}=\dfrac{170}{\sqrt{2}}\\ \text{V}\approx 120,2\\ \text{V}

Exercícios relacionados