(1 ponto) Calcule o valor RMS de uma tensão
.
Passo 1
O enunciado dá a tensão
e pede para calcular o valor RMS (valor eficaz) dessa tensão.
Informações relevantes que temos:
- Amplitude (valor de pico):
(peguei isso do enunciado). - Frequência angular:
(peguei isso do enunciado). - O que se pede: o valor RMS, normalmente denotado por
.
Passo 2
Definição que vamos usar (fórmula do RMS para um sinal periódico):
onde:
-
é o período do sinal (o tempo de uma repetição completa), -
é a tensão instantânea, -
é qualquer instante (a média sobre um período independe da escolha de ).
Explicação curta: o RMS é a raiz quadrada da média do quadrado da tensão ao longo de um período — dá a tensão DC que produziria a mesma potência média numa carga resistiva.
Passo 3
Calcular
e substituir na fórmula:
Então
Agora usamos a identidade trigonométrica (muito útil):
Aplicando com
:
Passo 4
Substituindo a identidade dentro da integral:
A segunda integral é zero porque
é uma função periódica com período
e sobre um intervalo de comprimento
(= duas vezes o seu período) a média é zero. Portanto
Passo 5
Voltando para
:
Podemos simplificar escrevendo
. Calculando numericamente:
Observação prática: para qualquer sinal senoidal
vale sempre
. Então decorar essa regra economiza tempo na prova.