Exemplo 04: Uma fonte de 60 Hz e tensão eficaz de 240 V fornece 5000 VA a uma carga com fator de potência de 0,85 atrasado. Determine a potência do banco de capacitores em paralelo, a qual é necessária para levar o fator de potência para:
0,92 capacitivo.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Fonte: frequência f=60\\ \text{Hz}.
  • Tensão eficaz da fonte: V_{\text{rms}}=240\\ \text{V}.
  • Potência aparente fornecida à carga: S_{\text{carga}}=5000\\ \text{VA}.
  • Fator de potência da carga: \text{pf}_{\text{carga}}=0,85 (atrasado).
    O que se pede:
  • Determinar a potência reativa do banco de capacitores em paralelo (ou seja, Q_{c} em VAR ou kVAr) necessária para que o fator de potência resultante do conjunto seja \text{pf}_{\text{final}}=0,92 (capacitivo / leading).
    Observação importante (informação que vou usar depois): o pedido de “ 0,92 capacitivo” significa que, após a adição dos capacitores, a corrente ficará adiantada em relação à tensão — portanto a reatância líquida do sistema será capacitiva (reativa total negativa).

Passo 2

Calcular a potência ativa da carga P.
Explicação didática: a potência ativa P é a componente real da potência aparente S e se obtém por P=S\cdot\text{pf}. Aqui todas as variáveis:
  • S_{\text{carga}} é a potência aparente em VA.
  • \text{pf}_{\text{carga}} é o cosseno do ângulo de fase da carga, \cos\varphi_1.
    Fazendo:
P = S_{\text{carga}}\cdot\text{pf}_{\text{carga}} = 5000\cdot 0,85 = 4250\\ \text{W}.

Passo 3

Calcular a potência reativa da carga Q_{\text{carga}} (reativa indutiva, positiva).
Explicação didática: na representação de fasores (triângulo de potências), S^2 = P^2 + Q^2. Também \sin\varphi_1=\sqrt{1-\cos^2\varphi_1} e Q=S\sin\varphi. Aqui \cos\varphi_1=0,85.
Primeiro obtenho \sin\varphi_1:
\sin\varphi_1 = \sqrt{1 - 0,85^2} = \sqrt{1 - 0,7225} = \sqrt{0,2775}\approx 0,526782\ldots
Agora Q_{\text{carga}} = S_{\text{carga}}\sin\varphi_1:
Q_{\text{carga}} = 5000\cdot 0,526782\ldots \approx 2633{,}912\\ \text{VAR}.
Interpretação: a carga consome cerca de 2633{,}9\\ \text{VAR} reativos (indutivos).

Passo 4

Determinar qual deve ser a reatância total (reativo total) do sistema para alcançar \text{pf}_{\text{final}}=0,92 capacitivo.
Explicação didática: o fator de potência final \text{pf}_{\text{final}}=\cos\varphi_2 relaciona P com a potência aparente total S_{\text{tot}} por P=S_{\text{tot}}\cos\varphi_2. A reativa total Q_{\text{tot}}=P\tan\varphi_2. Como o pedido é “capacitivo”, \varphi_2 é negativo (ângulo leading), então Q_{\text{tot}} será negativo; na prática usaremos o valor numérico e manteremos o sinal para indicar capacitivo.
Calculo \tan\varphi_2 a partir de \cos\varphi_2=0,92:
\tan\varphi_2 = \sqrt{\frac{1}{\cos^2\varphi_2}-1} = \sqrt{\frac{1}{0,92^2}-1}.
Fazendo as contas:
\frac{1}{0,92^2}=\frac{1}{0,8464}\approx 1,181102\ldots
\tan\varphi_2 \approx \sqrt{1,181102-1}=\sqrt{0,181102}\approx 0,42563.
Como o fator final é capacitivo, tomamos \tan\varphi_2=-0,42563 (sinal negativo indica reatância capacitiva). Então a reativa total desejada é
Q_{\text{tot}} = P\cdot \tan\varphi_2 = 4250\cdot (-0,42563)\approx -1808{,}2\\ \text{VAR}.
Interpretação: após acrescentar o banco de capacitores, a reatividade líquida do sistema deve ser aproximadamente -1808{,}2\\ \text{VAR} (capacitiva).

Passo 5

Determinar a potência reativa do banco de capacitores Q_{c}.
Explicação didática: o banco em paralelo fornece reatividade capacitiva Q_{c} (valor positivo quando expresso como módulo), e a reatividade total do sistema é
Q_{\text{tot}} = Q_{\text{carga}} - Q_{c},
pois Q_{\text{carga}} é indutiva (+) e Q_{c} é a reativa fornecida pelos capacitores (reduz a reativa indutiva). Reorganizando:
Q_{c} = Q_{\text{carga}} - Q_{\text{tot}}.
Substituindo os números (atenção aos sinais; Q_{\text{tot}} é negativo):
Q_{c} = 2633{,}912 - (-1808{,}2) = 2633{,}912 + 1808{,}2 \approx 4442{,}112\\ \text{VAR}.
Arredondando de forma prática: Q_{c}\approx 4442\\ \text{VAR}, isto é, aproximadamente 4{,}44\\ \text{kVAr}.
Interpretação: o banco de capacitores deve fornecer cerca de 4{,}44\\ \text{kVAr} para que o conjunto tenha pf 0,92 leading.

Passo 6

(se quiser montar o banco em termos de capacitância) Calcular a capacitância necessária para fornecer Q_{c} em 240\\ \text{V} e 60\\ \text{Hz}.
Explicação didática: para um capacitor em regime senoidal, a potência reativa fornecida por um capacitor ligado à tensão eficaz V_{\text{rms}} é
Q_{c} = V_{\text{rms}}^{2}\,\omega C,
onde \omega = 2\pi f e C é a capacitância em farads. Isolando C:
C = \frac{Q_{c}}{V_{\text{rms}}^{2}\,2\pi f}.
Substituindo Q_{c}\approx 4442{,}112\\ \text{VAR}, V_{\text{rms}}=240\\ \text{V} e f=60\\ \text{Hz}:
2\pi f = 2\pi\cdot 60 \approx 376{,}9911\\ \text{rad/s},
V_{\text{rms}}^{2} = 240^{2} = 57\,600.
C \approx \frac{4442{,}112}{57\,600\cdot 376{,}9911}\approx 0{,}00020462\\ \text{F} = 204{,}62\\ \mu\text{F}.
Arredondando de forma prática: C\approx 205\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Comentário final de verificação e incentivo: conferindo as contas, a potência ativa permaneceu 4250\\ \text{W}, a reativa da carga era 2633{,}9\\ \text{VAR} e, ao adicionar aproximadamente 4442\\ \text{VAR} de capacitores, o resultado é uma reatância líquida capacitiva de cerca de -1808\\ \text{VAR}, que dá \text{pf}=0,92 leading como pedido. Boa! Está feito — dá pra montar o banco com algo em torno de 4{,}44\\ \text{kVAr} (ou \approx 205\\ \mu\text{F} a 240\\ \text{V},60\\ \text{Hz}).

Resposta

Q_{c}\approx 4442\\ \text{VAR}\\ \approx 4{,}44\\ \text{kVAr}
C\approx 204{,}6\\ \mu\text{F}\\ (\text{capacitor em 240 V, 60 Hz})

Exercícios relacionados