Exercício 08: Uma indústria que produz vasilhames de gás opera com 40 kVA e fator de potência total de 0,85 indutivo ou atrasado. Um grupo de resistências com fator de potência igual a 1 é instalado, para aquecer a tinta líquida a ser usada para pintar os botijões. O fator de potência passa para 0,90 atrasado. Quantos kW resistivos foram instalados?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Potência aparente inicial S_1 = 40\\ \text{kVA}.
  • Fator de potência inicial \text{pf}_1 = 0{,}85 (atrasado, indutivo).
  • Depois de instalar um grupo de resistências (fator de potência igual a 1), o fator de potência total passa a \text{pf}_2 = 0{,}90 (atrasado).
    O que se pede: determinar quantos \text{kW} resistivos (potência ativa) foram instalados.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadinhas):
  • Potência aparente S (em kVA) é a combinação vetorial da potência ativa P (kW) e da potência reativa Q (kVAr). Valem as relações:
S^2 = P^2 + Q^2,
\text{pf} = \frac{P}{S} = \cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente. Aqui P é a potência real (a que faz trabalho/aquece), Q é a potência reativa (associada a campos magnéticos em indutâncias/capacitores) e \text{pf} é o fator de potência (adiantado se capacitivo, atrasado se indutivo).
Quando se adiciona carga puramente resistiva, somente P aumenta; Q do sistema não muda.

Passo 3

Calcular a potência ativa inicial P_1 (peguei S_1 e \text{pf}_1 do enunciado):
P_1 = S_1 \cdot \text{pf}_1.
Substituindo:
P_1 = 40\cdot 0{,}85 = 34\\ \text{kW}.

Passo 4

Calcular a potência reativa inicial Q_1 usando S_1^2 = P_1^2 + Q_1^2:
Q_1 = \sqrt{S_1^2 - P_1^2}.
Substituindo:
Q_1 = \sqrt{40^2 - 34^2} = \sqrt{1600 - 1156} = \sqrt{444}\approx 21{,}07\\ \text{kVAr}.
(Como o sistema era indutivo, Q_1 é positivo no sentido “atrasado”.)

Passo 5

Argumento para encontrar a potência ativa total necessária P_2 que resulte em \text{pf}_2=0{,}90:
A nova potência reativa do sistema continua Q_1. A nova potência ativa total é P_2 = P_1 + P_{\text{res}}, onde P_{\text{res}} é a potência resistiva que instalamos (é o que queremos). Pela definição de fator de potência:
\text{pf}_2 = \frac{P_2}{\sqrt{P_2^2 + Q_1^2}}.
Para isolar P_2 manipulamos a equação:
\text{pf}_2^2\,(P_2^2+Q_1^2)=P_2^2 \quad\Rightarrow\quad \text{pf}_2^2 Q_1^2 = P_2^2(1-\text{pf}_2^2).
Logo
P_2 = \frac{\text{pf}_2\,Q_1}{\sqrt{1-\text{pf}_2^2}}.
Esta fórmula diz, em palavras, que para um dado Q e fator de potência desejado, existe uma P que faz o cosseno do ângulo ser o valor pedido.

Passo 6

Calcular numericamente P_2 usando \text{pf}_2=0{,}90 e Q_1 obtido:
Primeiro calcule \sqrt{1-\text{pf}_2^2}=\sqrt{1-0{,}9^2}=\sqrt{0{,}19}\approx0{,}43589.
Então
P_2 = \frac{0{,}90\cdot 21{,}0713}{0{,}43589}\approx 43{,}52\\ \text{kW}.

Passo 7

Calcular a potência resistiva instalada P_{\text{res}} = P_2 - P_1:
P_{\text{res}} = 43{,}52 - 34 = 9{,}52\\ \text{kW}.

Passo 8

Cheque rápido (verificação): calcular o fator de potência com esses números:
\frac{P_2}{\sqrt{P_2^2+Q_1^2}}=\frac{43{,}52}{\sqrt{43{,}52^2+21{,}07^2}}\approx 0{,}90,
portanto consistente com o enunciado.

Resposta

9{,}52\\ \text{kW}

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