(1 ponto) Se o carro desacelera uniformemente ao longo da estrada curva de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em A para 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em C, determine a aceleração do carro em B. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.29 p. 46)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente o que está dado e o que se pede):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade no ponto A: v_A=30\\ \mathrm{m/s}.
    • Velocidade no ponto C: v_C=20\\ \mathrm{m/s}.
    • O carro desacelera uniformemente ao longo da estrada curva entre A e C (ou seja, a componente tangencial da aceleração é constante).
  • Pedido:
    • Determinar a aceleração do carro no ponto B.
Observação importante: o enunciado fala de uma estrada curva e dos pontos A, B, C, mas aqui não veio a figura nem foram dados comprimentos (distância ao longo da curva entre pontos), nem o tempo do percurso, nem o raio de curvatura em B. Esses dados são necessários para obter um valor numérico para a aceleração em B. Sem eles não é possível calcular um número final. Vou explicar passo a passo a teoria e as fórmulas que se usam, mostrar o procedimento completo e dizer explicitamente quais informações adicionais são necessárias para obter o valor numérico.

Passo 2

No movimento ao longo de uma curva, a aceleração vetorial do veículo tem duas componentes independentes (essa é a peça teórica que você precisa saber):
  • componente tangencial a_t, que é responsável pela variação do módulo da velocidade (ou seja, aceleração/desaceleração ao longo da direção de deslocamento);
  • componente normal (ou centrípeta) a_n, que é responsável por mudar a direção da velocidade quando o caminho é curvo.
Matematicamente, em qualquer ponto da trajetória:
\vec a = a_t\,\hat t + a_n\,\hat n,
onde
a_t = \frac{dv}{dt}\quad\text{e}\quad a_n=\frac{v^2}{\rho},
e aqui:
  • \hat t é o versor tangente à trajetória (direção do movimento);
  • \hat n é o versor normal (apontando para o centro de curvatura);
  • v é o módulo da velocidade no ponto considerado;
  • \rho é o raio de curvatura da trajetória no ponto considerado;
  • a_t é positivo se a velocidade está aumentando, negativo se está diminuindo.
Vou explicar com calma cada fórmula:
  • \displaystyle a_t=\frac{dv}{dt}: é a definição de componente tangencial — taxa de variação da rapidez em relação ao tempo. Se a desaceleração é uniforme, então a_t é constante ao longo de A a C.
  • \displaystyle a_n=\frac{v^2}{\rho}: vem da relação centrípeta para movimento curvo; quanto maior a velocidade ou menor o raio, maior a componente normal.

Passo 3

Como a desaceleração é uniforme (ou seja, a_t constante), podemos obter a_t a partir de duas alternativas, dependendo dos dados disponíveis:
Alternativa 1 — se for conhecida a distância (comprimento de arco) entre A e C, denotada \,s_{AC}\,:
usar a equação cinemática que relaciona velocidades e deslocamento com aceleração constante:
v_C^{2}=v_A^{2}+2a_t s_{AC}.
Isolando a_t,
a_t=\frac{v_C^{2}-v_A^{2}}{2s_{AC}}.
Explicação prática: essa fórmula evita precisar do tempo; ela diz quanto a rapidez muda por unidade de deslocamento quando a aceleração tangencial é constante.
Alternativa 2 — se for conhecido o tempo total \Delta t que leva de A a C:
a velocidade varia linearmente com o tempo sob aceleração constante, então
a_t=\frac{v_C-v_A}{\Delta t}.
Explicação prática: é a definição direta de aceleração média (aqui é igual à aceleração constante).
Observação: sem s_{AC} nem \Delta t não se consegue um valor numérico para a_t.

Passo 4

Para obter a aceleração no ponto B precisa-se também da velocidade no ponto B, v_B. Com a_t conhecido, v_B pode ser obtido dependendo de como B está situado entre A e C:
  • Se for conhecida a distância do arco de A até B, denotar s_{AB}. Com aceleração tangencial constante:
v_B^{2}=v_A^{2}+2a_t s_{AB}.
  • Se for conhecido o instante t_B medido a partir de A (ou a fração do tempo total), então
v_B=v_A+a_t t_B.
  • Em especial: se B for o ponto médio em tempo entre A e C (isto é, t_B=\Delta t/2), então sob aceleração constante a velocidade em B é a média aritmética
v_B=\frac{v_A+v_C}{2}.
Isso acontece porque v(t) é função afim do tempo quando a aceleração é constante.
Depois de obter v_B, calcula-se a componente normal em B usando o raio de curvatura \rho_B em B:
a_{n,B}=\frac{v_B^{2}}{\rho_B}.
Finalmente, a aceleração vetorial em B é
\vec a_B = a_t\,\hat t_B + a_{n,B}\,\hat n_B.
Se quiser a magnitude:
\|\vec a_B\|=\sqrt{a_t^{2}+a_{n,B}^{2}}=\sqrt{a_t^{2}+\left(\frac{v_B^{2}}{\rho_B}\right)^{2}}.

Passo 5

Resumo do procedimento prático que você deve aplicar — passo a passo que dá pra fazer na prova se tiver os dados:
  1. Determinar a_t por \displaystyle a_t=\frac{v_C^{2}-v_A^{2}}{2s_{AC}} se s_{AC} for conhecido, ou por \displaystyle a_t=\frac{v_C-v_A}{\Delta t} se \Delta t for conhecido.
  2. Determinar v_B usando v_B^{2}=v_A^{2}+2a_ts_{AB} se a posição B (distância s_{AB}) for conhecida, ou v_B=v_A+a_t t_B se o tempo t_B for conhecido. (Se B for o ponto médio em tempo, então v_B=(v_A+v_C)/2.)
  3. Determinar a_{n,B}=\dfrac{v_B^{2}}{\rho_B} usando o raio de curvatura \rho_B no ponto B.
  4. Montar o vetor \vec a_B=a_t\hat t_B+a_{n,B}\hat n_B e, se quiser, obter a magnitude com \sqrt{a_t^{2}+a_{n,B}^{2}}.

Passo 6

Conclusão para este enunciado específico: com apenas v_A=30\\ \mathrm{m/s}, v_C=20\\ \mathrm{m/s} e a informação qualitativa de “desacelera uniformemente” não há dados suficientes para um valor numérico da aceleração em B. Faltam, por exemplo, pelo menos um dos seguintes:
  • o comprimento do arco entre A e C (para usar a fórmula com s_{AC}),
  • ou o tempo total \Delta t de A a C,
  • e além disso é necessário saber a posição de B ao longo da curva (por exemplo s_{AB} ou t_B) e o raio de curvatura \rho_B no ponto B (para a componente normal).
Se você me enviar a figura ou qualquer um desses dados (por exemplo s_{AC} e s_{AB}, ou \Delta t e t_B, e o \rho_B), eu faço as contas completas e te dou o valor numérico da aceleração em B. Força aí — você já tem a receita completa.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a aceleração em B com os dados fornecidos. Em termos das quantidades necessárias, a aceleração em B é
\vec a_B = a_t\,\hat t_B + \frac{v_B^{2}}{\rho_B}\,\hat n_B,
com
a_t=\frac{v_C^{2}-v_A^{2}}{2s_{AC}}\quad\text{ou}\quad a_t=\frac{v_C-v_A}{\Delta t},
e
v_B^{2}=v_A^{2}+2a_t s_{AB}\quad\text{(ou)}\quad v_B=v_A+a_t t_B.

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