Partindo do índice fisico à esquerda, demonstre cada igualdade abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações que vamos usar (tudo que vem do “índice físico” à esquerda, explicado claramente):
- O objetivo é demonstrar a igualdade
-
Variáveis e definições físicas que usaremos:
-
= volume total da amostra. -
= volume dos sólidos. -
= volume dos vazios (voids). -
= volume de água presente nos vazios. -
= massa dos sólidos. -
= massa da água. -
= massa volumétrica (massa total / volume total) — densidade úmida da amostra. -
= densidade da água. -
= densidade dos sólidos. -
= gravidade específica dos sólidos, definida por . -
= razão vazios-sólidos (void ratio), definida por . -
= grau de saturação, definido por .
-
-
Hipóteses usuais: massa do ar é desprezível, logo massa total
.
Passo 2
Expressar as massas em função dos volumes e das densidades (fórmula básica de massa):
- Massa dos sólidos:
Usando
obtemos
. Portanto,
Explanação:
compara a densidade dos sólidos com a da água; multiplicando
por
recupera-se
, e então multiplicando por
vem a massa dos sólidos.
Passo 3
Expressar a massa da água em função do volume de água:
Agora vamos reescrever
usando
e
. Pelas definições:
Logo
Explicação: primeiro convertemos o volume de vazios em termos de
via
, depois o volume de água é a fração
daquele volume de vazios.
Passo 4
Escrever a massa total
somando os termos acima:
Fatorando
:
Comentário: agrupamos para simplificar a expressão antes de dividir pelo volume total.
Passo 5
Escrever o volume total
em função de
e
:
Explicação: volume total é a soma de sólidos e vazios; vazios é
vezes
.
Passo 6
Definir a densidade da amostra
como massa total dividida pelo volume total e substituir as expressões obtidas:
Cancelar
no numerador e denominador:
Passo final de álgebra: agrupar termos no numerador se desejar
Passo 7
Interpretação rápida e dica para prova:
- A fórmula mostra que a densidade úmida
é uma média ponderada entre a contribuição dos sólidos (via ) e a da água (via ), normalizada pelo fator de espaço total . - Em prova, proceda sempre assim: escreva massas = densidade·volume, expresse volumes de vazios/água via
e , some massas e divida pelo volume total; os termos normalmente cancelam.