Partindo do índice fisico à esquerda, demonstre cada igualdade abaixo:
\rho=\frac{(S \cdot e+G)}{1+e} \cdot \rho_{w}

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações que vamos usar (tudo que vem do “índice físico” à esquerda, explicado claramente):
  • O objetivo é demonstrar a igualdade
\rho=\frac{(S\cdot e+G)}{1+e}\cdot\rho_{w}.
  • Variáveis e definições físicas que usaremos:
    • V = volume total da amostra.
    • V_{s} = volume dos sólidos.
    • V_{v} = volume dos vazios (voids).
    • V_{w} = volume de água presente nos vazios.
    • M_{s} = massa dos sólidos.
    • M_{w} = massa da água.
    • \rho = massa volumétrica (massa total / volume total) — densidade úmida da amostra.
    • \rho_{w} = densidade da água.
    • \rho_{s} = densidade dos sólidos.
    • G = gravidade específica dos sólidos, definida por G=\dfrac{\rho_{s}}{\rho_{w}}.
    • e = razão vazios-sólidos (void ratio), definida por e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}.
    • S = grau de saturação, definido por S=\dfrac{V_{w}}{V_{v}}.
  • Hipóteses usuais: massa do ar é desprezível, logo massa total M=M_{s}+M_{w}.

Passo 2

Expressar as massas em função dos volumes e das densidades (fórmula básica de massa):
  • Massa dos sólidos:
M_{s}=\rho_{s}\,V_{s}.
Usando G=\dfrac{\rho_{s}}{\rho_{w}} obtemos \rho_{s}=G\cdot\rho_{w}. Portanto,
M_{s}=G\cdot\rho_{w}\,V_{s}.
Explanação: G compara a densidade dos sólidos com a da água; multiplicando G por \rho_{w} recupera-se \rho_{s}, e então multiplicando por V_{s} vem a massa dos sólidos.

Passo 3

Expressar a massa da água em função do volume de água:
M_{w}=\rho_{w}\,V_{w}.
Agora vamos reescrever V_{w} usando S e e. Pelas definições:
V_{v}=e\,V_{s}\quad\text{(pois \(e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}\))},
V_{w}=S\,V_{v}=S\,(e\,V_{s})=S\,e\,V_{s}.
Logo
M_{w}=\rho_{w}\,(S\,e\,V_{s}).
Explicação: primeiro convertemos o volume de vazios em termos de V_s via e, depois o volume de água é a fração S daquele volume de vazios.

Passo 4

Escrever a massa total M somando os termos acima:
M=M_{s}+M_{w}=G\cdot\rho_{w}\,V_{s}+\rho_{w}\,(S\,e\,V_{s}).
Fatorando \rho_{w}\,V_{s}:
M=\rho_{w}\,V_{s}\,(G+S\,e).
Comentário: agrupamos para simplificar a expressão antes de dividir pelo volume total.

Passo 5

Escrever o volume total V em função de V_{s} e e:
V=V_{s}+V_{v}=V_{s}+e\,V_{s}=V_{s}(1+e).
Explicação: volume total é a soma de sólidos e vazios; vazios é e vezes V_s.

Passo 6

Definir a densidade da amostra \rho como massa total dividida pelo volume total e substituir as expressões obtidas:
\rho=\frac{M}{V}=\frac{\rho_{w}\,V_{s}\,(G+S\,e)}{V_{s}(1+e)}.
Cancelar V_{s} no numerador e denominador:
\rho=\frac{\rho_{w}\,(G+S\,e)}{1+e}.
Passo final de álgebra: agrupar termos no numerador se desejar
\rho=\frac{(S\cdot e+G)}{1+e}\cdot\rho_{w}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova:
  • A fórmula mostra que a densidade úmida \rho é uma média ponderada entre a contribuição dos sólidos (via G) e a da água (via S e), normalizada pelo fator de espaço total 1+e.
  • Em prova, proceda sempre assim: escreva massas = densidade·volume, expresse volumes de vazios/água via e e S, some massas e divida pelo volume total; os termos V_s normalmente cancelam.

Resposta

\rho=\dfrac{(S\cdot e+G)}{1+e}\cdot\rho_{w}

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