Partindo do índice fisico à esquerda, demonstre cada igualdade abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a igualdade
Listei as definições e informações que vou usar (tudo pegado do enunciado implícito nas notações):
-
= densidade aparente (densidade total) do material, definida como massa total dividida pelo volume total. -
= densidade dos sólidos (densidade das partículas), definida como massa dos sólidos dividida pelo volume dos sólidos. -
= teor de água gravimétrico (conteúdo de água), definido como razão entre massa de água e massa de sólidos: . -
= razão de vazios (void ratio), definida como razão entre volume de vazios e volume de sólidos: .
O objetivo é partir dessas definições e chegar à fórmula indicada. Não vou assumir nada além dessas definições básicas.
Passo 2
Escrevo a definição de densidade total
em termos de massas e volumes:
A massa total é soma da massa dos sólidos
com a massa da água
:
Passo 3
Uso a definição do teor de água
para escrever
em função de
:
Substituindo em
:
Passo 4
Agora escrevo o volume total. O volume total é soma do volume dos sólidos
com o volume de vazios
:
Pela definição de razão de vazios
temos
, então
. Substituindo:
Passo 5
Substituo as expressões de
e
na definição de
:
Passo 6
Reconheço que a densidade dos sólidos
é
. Uso isso para simplificar:
Passo 7
Concluo a demonstração: a expressão obtida coincide exatamente com a igualdade pedida.