Partindo do índice fisico à esquerda, demonstre cada igualdade abaixo:
\rho=\frac{\rho_{s}(1+w)}{1+e}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\rho=\frac{\rho_{s}(1+w)}{1+e}
Listei as definições e informações que vou usar (tudo pegado do enunciado implícito nas notações):
  • \rho = densidade aparente (densidade total) do material, definida como massa total dividida pelo volume total.
  • \rho_{s} = densidade dos sólidos (densidade das partículas), definida como massa dos sólidos dividida pelo volume dos sólidos.
  • w = teor de água gravimétrico (conteúdo de água), definido como razão entre massa de água e massa de sólidos: w=\dfrac{m_w}{m_s}.
  • e = razão de vazios (void ratio), definida como razão entre volume de vazios e volume de sólidos: e=\dfrac{V_v}{V_s}.
    O objetivo é partir dessas definições e chegar à fórmula indicada. Não vou assumir nada além dessas definições básicas.

Passo 2

Escrevo a definição de densidade total \rho em termos de massas e volumes:
\rho=\frac{m_{\text{total}}}{V_{\text{total}}}.
A massa total é soma da massa dos sólidos m_s com a massa da água m_w:
m_{\text{total}}=m_s+m_w.

Passo 3

Uso a definição do teor de água w para escrever m_w em função de m_s:
w=\frac{m_w}{m_s}\quad\Rightarrow\quad m_w = w\,m_s.
Substituindo em m_{\text{total}}:
m_{\text{total}}=m_s+m_w = m_s + w\,m_s = m_s(1+w).

Passo 4

Agora escrevo o volume total. O volume total é soma do volume dos sólidos V_s com o volume de vazios V_v:
V_{\text{total}}=V_s+V_v.
Pela definição de razão de vazios e temos e=\dfrac{V_v}{V_s}, então V_v=e\,V_s. Substituindo:
V_{\text{total}}=V_s + e\,V_s = V_s(1+e).

Passo 5

Substituo as expressões de m_{\text{total}} e V_{\text{total}} na definição de \rho:
\rho=\frac{m_{\text{total}}}{V_{\text{total}}}=\frac{m_s(1+w)}{V_s(1+e)}.

Passo 6

Reconheço que a densidade dos sólidos \rho_{s} é \rho_{s}=\dfrac{m_s}{V_s}. Uso isso para simplificar:
\rho=\frac{m_s(1+w)}{V_s(1+e)}=\left(\frac{m_s}{V_s}\right)\frac{1+w}{1+e}=\rho_{s}\,\frac{1+w}{1+e}.

Passo 7

Concluo a demonstração: a expressão obtida coincide exatamente com a igualdade pedida.

Resposta

\rho=\dfrac{\rho_{s}(1+w)}{1+e}

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