(1 ponto) A velocidade de uma partícula é dada por
, onde
é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando
, determine a intensidade da aceleração da partícula quando
. Também, qual é a posição da partícula em coordenadas
neste instante? (Equivalente ao Problema 12.74 p. 35)
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade da partícula e uma condição inicial. Especificamente:
- Velocidade:
. - Condição inicial: a partícula está na origem quando
, ou seja .
As perguntas são:
- Qual é a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula quando
? - Qual é a posição da partícula em coordenadas
no instante ?
Passo 2
Primeiro vamos obter a aceleração a partir da velocidade. A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
Regra usada: a derivada de
é
(para
real). Aplicando termo a termo em
:
- Para o componente
: - Para o componente
: - Para o componente
: (derivada de constante é zero)
Portanto
Passo 3
Avaliar a aceleração em
. Substituindo
:
Passo 4
Agora calculamos a intensidade (magnitude) de
. A fórmula da magnitude de um vetor
é
Aplicando aos componentes
:
Calculemos
, então
Fatorando
obtemos a forma simplificada
Como valor aproximado numérico (para uso prático):
Passo 5
Agora determinamos a posição
integrando a velocidade:
. Integramos componente a componente e usaremos a condição
para achar as constantes de integração.
Regra usada: a integral de é
(para
); a integral de constante
é
.
Regra usada: a integral de
- Componente
:
Usando
dá
. Logo
.
- Componente
:
Usando
dá
. Logo
.
- Componente
:
Usando
dá
. Logo
.
Portanto a posição geral é
Passo 6
Avaliar
em
:
Portanto a posição no instante
é
m.