(1 ponto) A velocidade de uma partícula é dada por \vec{v}=\left\{9 t^{2} \hat{i}+2 t^{3} \hat{j}+(3 t+1) \hat{k}\right\} \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando t=0, determine a intensidade da aceleração da partícula quando t=3 \mathrm{~s}. Também, qual é a posição da partícula em coordenadas x, y, z neste instante? (Equivalente ao Problema 12.74 p. 35)

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula e uma condição inicial. Especificamente:
  • Velocidade: \vec{v}(t)=\{9 t^{2}\,\hat{i}+2 t^{3}\,\hat{j}+(3 t+1)\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m/s}.
  • Condição inicial: a partícula está na origem quando t=0, ou seja \vec{r}(0)=\vec{0}.
    As perguntas são:
  1. Qual é a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula quando t=3\\ \mathrm{s}?
  2. Qual é a posição da partícula em coordenadas x,y,z no instante t=3\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Primeiro vamos obter a aceleração a partir da velocidade. A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Regra usada: a derivada de t^{n} é n t^{n-1} (para n real). Aplicando termo a termo em \vec{v}(t):
  • Para o componente x: \dfrac{d}{dt}\bigl(9 t^{2}\bigr)=9\cdot 2\,t^{1}=18 t.
  • Para o componente y: \dfrac{d}{dt}\bigl(2 t^{3}\bigr)=2\cdot 3\,t^{2}=6 t^{2}.
  • Para o componente z: \dfrac{d}{dt}\bigl(3 t+1\bigr)=3. (derivada de constante é zero)
    Portanto
\vec{a}(t)=\{18 t\,\hat{i}+6 t^{2}\,\hat{j}+3\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Avaliar a aceleração em t=3\\ \mathrm{s}. Substituindo t=3:
\vec{a}(3)=\{18\cdot 3\,\hat{i}+6\cdot 3^{2}\,\hat{j}+3\,\hat{k}\} =\{54\,\hat{i}+54\,\hat{j}+3\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos a intensidade (magnitude) de \vec{a}(3). A fórmula da magnitude de um vetor \{a_x,a_y,a_z\} é
|\vec{a}|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}.
Aplicando aos componentes (54,54,3):
|\vec{a}(3)|=\sqrt{54^{2}+54^{2}+3^{2}}=\sqrt{2\cdot 54^{2}+9}.
Calculemos 54^{2}=2916, então
|\vec{a}(3)|=\sqrt{2\cdot 2916+9}=\sqrt{5832+9}=\sqrt{5841}.
Fatorando 5841=9\cdot 649 obtemos a forma simplificada
|\vec{a}(3)|=3\sqrt{649}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Como valor aproximado numérico (para uso prático):
|\vec{a}(3)|\approx 76{,}43\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Agora determinamos a posição \vec{r}(t) integrando a velocidade: \vec{r}(t)=\int \vec{v}(t)\,dt + \vec{C}. Integramos componente a componente e usaremos a condição \vec{r}(0)=\vec{0} para achar as constantes de integração.
Regra usada: a integral de t^{n} é \dfrac{t^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1); a integral de constante a é a t.
  • Componente x:
x(t)=\int 9 t^{2}\,dt=9\cdot\frac{t^{3}}{3}=3 t^{3}+C_x.
Usando x(0)=0 C_x=0. Logo x(t)=3 t^{3}.
  • Componente y:
y(t)=\int 2 t^{3}\,dt=2\cdot\frac{t^{4}}{4}=\tfrac{1}{2}t^{4}+C_y.
Usando y(0)=0 C_y=0. Logo y(t)=\tfrac{1}{2}t^{4}.
  • Componente z:
z(t)=\int (3 t+1)\,dt=3\cdot\frac{t^{2}}{2}+t+C_z=\tfrac{3}{2}t^{2}+t+C_z.
Usando z(0)=0 C_z=0. Logo z(t)=\tfrac{3}{2}t^{2}+t.
Portanto a posição geral é
\vec{r}(t)=\{3 t^{3},\\ \tfrac{1}{2}t^{4},\\ \tfrac{3}{2}t^{2}+t\}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Avaliar \vec{r}(t) em t=3\\ \mathrm{s}:
  • x(3)=3\cdot 3^{3}=3\cdot 27=81\\ \mathrm{m}.
  • y(3)=\tfrac{1}{2}\cdot 3^{4}=\tfrac{1}{2}\cdot 81=\tfrac{81}{2}=40{,}5\\ \mathrm{m}.
  • z(3)=\tfrac{3}{2}\cdot 3^{2}+3=\tfrac{3}{2}\cdot 9+3=\tfrac{27}{2}+3=\tfrac{33}{2}=16{,}5\\ \mathrm{m}.
Portanto a posição no instante t=3\\ \mathrm{s} é (81,\;40{,}5,\;16{,}5) m.

Resposta

3\sqrt{649}\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ \approx\\\ 76{,}43\\ \mathrm{m/s^{2}}
(x,y,z)=(81,\;40{,}5,\;16{,}5)\\ \mathrm{m}

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