(1 ponto) Uma partícula move-se ao longo da trajetória y^{2}=9 x com uma velocidade escalar constante de v=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as componentes x e y da velocidade e aceleração quando a partícula está em x=3 m. (Equivalente ao Problema 12.79 p. 36)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • A trajetória da partícula é dada por y^{2}=9x.
  • A velocidade escalar (módulo da velocidade) é constante: v=3\\ \mathrm{m/s}.
    O que é pedido:
  • Determinar as componentes x e y da velocidade (isto é, \dot x e \dot y) quando a partícula está em x=3\\ \mathrm{m}.
  • Determinar as componentes x e y da aceleração (isto é, \ddot x e \ddot y) no mesmo ponto.
    Informações relevantes a observar:
  • Para x=3 a equação da curva dá y^{2}=27, portanto há duas posições na curva com x=3: y=+3\sqrt{3} e y=-3\sqrt{3}. As componentes dependem do sinal de y (sinal da inclinação do ramo).
  • A velocidade escalar é v=\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}}=3\\ \mathrm{m/s}. Vou usar diferenciação implícita para relacionar \dot x e \dot y e depois usar a condição do módulo constante para obter os componentes; para a aceleração vou usar a diferenciação da relação entre \dot x e \dot y e a condição de módulo constante (tangente nula).

Passo 2

Encontrar os valores de y em x=3.
y^{2}=9x \quad\Rightarrow\quad y^{2}=9\cdot 3=27.
Logo
y=\pm 3\sqrt{3}.
Vou tratar as duas possibilidades separadamente quando for necessário; muitas relações terão a mesma magnitude com sinais trocados.

Passo 3

Relacionar \dot x e \dot y pela diferenciação implícita em relação ao tempo t.
Partindo de y^{2}=9x, derivando ambos os lados em relação a t:
2y\,\dot y = 9\,\dot x.
Isolando \dot y:
\dot y = \frac{9}{2y}\,\dot x.
Isto também corresponde à inclinação da curva \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9}{2y}, e em x=3 teremos a inclinação numérica que usaremos a seguir.

Passo 4

Calcular a inclinação \dfrac{dy}{dx} em x=3 e usar a condição do módulo da velocidade para achar \dot x e \dot y.
Avaliar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9}{2y} em y=\pm 3\sqrt{3}:
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=3}=\frac{9}{2(\pm 3\sqrt{3})}=\pm\frac{3}{2\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Defina m=\dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}. A relação entre as derivadas temporais é \dot y=m\,\dot x.
Agora use o fato de que o módulo da velocidade é v=\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}}=3. Substituindo \dot y=m\dot x:
\dot x^{2}(1+m^{2})=9 \quad\Rightarrow\quad \dot x^{2}=\frac{9}{1+m^{2}}.
Como m^{2}=\dfrac{3}{4} temos 1+m^{2}=1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}. Assim
\dot x^{2}=\frac{9}{7/4}=\frac{36}{7}\quad\Rightarrow\quad \dot x=\pm\frac{6}{\sqrt{7}}.
O sinal de \dot x depende da direção do movimento ao longo da curva (vou escolher o caso usual em que a partícula se desloca para maior x, isto é, \dot x>0; se no exame o sentido for contrário, troca-se o sinal). Tomando \dot x=+\dfrac{6}{\sqrt{7}}, obtemos
\dot y = m\,\dot x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{6}{\sqrt{7}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Portanto, nas duas posições com x=3:
  • Se y=+3\sqrt{3} então \dot y=+\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
  • Se y=-3\sqrt{3} então \dot y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
    Em resumo (tomando \dot x>0):
\dot x=\frac{6}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\qquad \dot y=\pm\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},
onde o sinal de \dot y coincide com o sinal de y.

Passo 5

Determinar \ddot x\) e \(\ddot y\) (componentes da aceleração). Estratégia: diferenciar novamente a relação implícita e usar a condição de módulo constante (isto implica aceleração tangencial nula). Diferenciando \(2y\,\dot y=9\dot x\) em \(t\): \[2(\dot y^{2}+y\,\ddot y)=9\,\ddot x.
Além disso, como v^{2}=\dot x^{2}+\dot y^{2} é constante, derivando em t obtemos
2(\dot x\,\ddot x+\dot y\,\ddot y)=0 \quad\Rightarrow\quad \dot x\,\ddot x+\dot y\,\ddot y=0.
Agora temos o sistema linear nas incógnitas \ddot x e \ddot y:
\begin{cases} 9\,\ddot x - 2y\,\ddot y = 2\dot y^{2},\\[4pt] \dot x\,\ddot x + \dot y\,\ddot y = 0. \end{cases}
Resolva explicitamente. Da segunda equação:
\ddot x = -\frac{\dot y}{\dot x}\,\ddot y.
Substituindo na primeira:
9\Big(-\frac{\dot y}{\dot x}\ddot y\Big)-2y\,\ddot y = 2\dot y^{2}.
Agrupando \ddot y\]: \[\ddot y\Big(-\frac{9\dot y}{\dot x}-2y\Big)=2\dot y^{2} \quad\Rightarrow\quad \ddot y=\frac{2\dot y^{2}}{-\dfrac{9\dot y}{\dot x}-2y}.\] Como \(\dfrac{\dot y}{\dot x}=m, isto simplifica para
\ddot y=\frac{2\dot y^{2}}{-9m-2y}.
Agora substitua os valores numéricos/exatos já obtidos:
  • m=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • \dot x=\dfrac{6}{\sqrt{7}}.
  • \dot y=m\dot x=\pm\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
  • y=\pm 3\sqrt{3}.
    Calcule \ddot y para y=+3\sqrt{3} (caso positivo): então m=+\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \dot y^{2}=\dfrac{27}{7}. Assim
\ddot y = \frac{2\cdot\frac{27}{7}}{-9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-2\cdot 3\sqrt{3}} = \frac{\frac{54}{7}}{-\frac{9\sqrt{3}}{2}-6\sqrt{3}} = \frac{\frac{54}{7}}{-\frac{21\sqrt{3}}{2}} = -\frac{54}{7}\cdot\frac{2}{21\sqrt{3}} = -\frac{36}{49\sqrt{3}} = -\frac{12\sqrt{3}}{49}.
Depois \ddot x vem da relação \ddot x=-\dfrac{\dot y}{\dot x}\ddot y=-m\ddot y. Usando m=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
\ddot x = -m\ddot y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\Big(-\frac{12\sqrt{3}}{49}\Big) = \frac{36}{98}=\frac{18}{49}.
Portanto, para y=+3\sqrt{3}:
\ddot x=\frac{18}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad \ddot y=-\frac{12\sqrt{3}}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para y=-3\sqrt{3} (caso negativo) o cálculo análogo dá as mesmas magnitudes, com o sinal de \dot y e \ddot y trocados: a componente \ddot x mantém o mesmo valor \dfrac{18}{49} e \ddot y=+\dfrac{12\sqrt{3}}{49}.]

Passo 6

Resumo numérico (aproximações úteis para conferência):
\frac{6}{\sqrt{7}}\approx 2,268\quad,\quad \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\approx 1,965,
\frac{18}{49}\approx 0,36735\quad,\quad \frac{12\sqrt{3}}{49}\approx 0,42426.
Isto confirma que \dot x^{2}+\dot y^{2}=9 e que a aceleração tem componente tangencial nula (porque v é constante) e componente normal não nula, conforme esperado.

Resposta

Para x=3 e y=+3\sqrt{3}:
\displaystyle v_x=\frac{6}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad v_y=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad a_x=\frac{18}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad a_y=-\frac{12\sqrt{3}}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}}
Para x=3 e y=-3\sqrt{3}:
\displaystyle v_x=\frac{6}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad v_y=-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad a_x=\frac{18}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad a_y=\frac{12\sqrt{3}}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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