(1 ponto) Uma partícula move-se ao longo da trajetória y^{2}=9 x com uma velocidade escalar constante de v=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as componentes x e y da velocidade e aceleração quando a partícula está em x=3 m. (Equivalente ao Problema 12.79 p. 36)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
A trajetória da partícula é dada por y^{2}=9x.
A velocidade escalar (módulo da velocidade) é constante: v=3\\ \mathrm{m/s}.
O que é pedido:
Determinar as componentes x e y da velocidade (isto é, \dot x e \dot y) quando a partícula está em x=3\\ \mathrm{m}.
Determinar as componentes x e y da aceleração (isto é, \ddot x e \ddot y) no mesmo ponto.
Informações relevantes a observar:
Para x=3 a equação da curva dá y^{2}=27, portanto há duas posições na curva com x=3: y=+3\sqrt{3} e y=-3\sqrt{3}. As componentes dependem do sinal de y (sinal da inclinação do ramo).
A velocidade escalar é v=\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}}=3\\ \mathrm{m/s}. Vou usar diferenciação implícita para relacionar \dot x e \dot y e depois usar a condição do módulo constante para obter os componentes; para a aceleração vou usar a diferenciação da relação entre \dot x e \dot y e a condição de módulo constante (tangente nula).
Passo 2
Encontrar os valores de y em x=3.
y^{2}=9x \quad\Rightarrow\quad y^{2}=9\cdot 3=27.
Logo
y=\pm 3\sqrt{3}.
Vou tratar as duas possibilidades separadamente quando for necessário; muitas relações terão a mesma magnitude com sinais trocados.
Passo 3
Relacionar \dot x e \dot y pela diferenciação implícita em relação ao tempo t.
Partindo de y^{2}=9x, derivando ambos os lados em relação a t:
2y\,\dot y = 9\,\dot x.
Isolando \dot y:
\dot y = \frac{9}{2y}\,\dot x.
Isto também corresponde à inclinação da curva \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9}{2y}, e em x=3 teremos a inclinação numérica que usaremos a seguir.
Passo 4
Calcular a inclinação \dfrac{dy}{dx} em x=3 e usar a condição do módulo da velocidade para achar \dot x e \dot y.
Avaliar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9}{2y} em y=\pm 3\sqrt{3}:
Defina m=\dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}. A relação entre as derivadas temporais é \dot y=m\,\dot x.
Agora use o fato de que o módulo da velocidade é v=\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}}=3. Substituindo \dot y=m\dot x:
O sinal de \dot x depende da direção do movimento ao longo da curva (vou escolher o caso usual em que a partícula se desloca para maior x, isto é, \dot x>0; se no exame o sentido for contrário, troca-se o sinal). Tomando \dot x=+\dfrac{6}{\sqrt{7}}, obtemos
\dot y = m\,\dot x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{6}{\sqrt{7}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Portanto, nas duas posições com x=3:
Se y=+3\sqrt{3} então \dot y=+\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Se y=-3\sqrt{3} então \dot y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Em resumo (tomando \dot x>0):
Determinar \ddot x\) e \(\ddot y\) (componentes da aceleração). Estratégia: diferenciar novamente a relação implícita e usar a condição de módulo constante (isto implica aceleração tangencial nula).
Diferenciando \(2y\,\dot y=9\dot x\) em \(t\):
\[2(\dot y^{2}+y\,\ddot y)=9\,\ddot x.
Além disso, como v^{2}=\dot x^{2}+\dot y^{2} é constante, derivando em t obtemos
Para y=-3\sqrt{3} (caso negativo) o cálculo análogo dá as mesmas magnitudes, com o sinal de \dot y e \ddot y trocados: a componente \ddot x mantém o mesmo valor \dfrac{18}{49} e \ddot y=+\dfrac{12\sqrt{3}}{49}.]
Passo 6
Resumo numérico (aproximações úteis para conferência):
Isto confirma que \dot x^{2}+\dot y^{2}=9 e que a aceleração tem componente tangencial nula (porque v é constante) e componente normal não nula, conforme esperado.
Resposta
Para x=3 e y=+3\sqrt{3}: \displaystyle v_x=\frac{6}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad v_y=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad a_x=\frac{18}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad a_y=-\frac{12\sqrt{3}}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}}
Para x=3 e y=-3\sqrt{3}: \displaystyle v_x=\frac{6}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad v_y=-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\\ \mathrm{m/s},\quad a_x=\frac{18}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad a_y=\frac{12\sqrt{3}}{49}\\ \mathrm{m/s^{2}}