(1,0 ponto) Determine
de modo que
para todo
, sendo
dada por
Determine também,
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a função
tal que para todo , onde é dada por
- Determinar
e .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão alvo é
. - A função
está definida por . - Para que
faça sentido, é necessário que . (Se a expressão não está definida.) - A função
tem indeterminação em (denominador zero), então qualquer valor que colocarmos em não pode ser .
Passo 2
Idéia do método: para obter
tal que
basta aplicar a inversa de
ao lado direito:
. Então primeiro vamos achar explicitamente
.
Seja
. Então
Resolver para
em função de
. Multiplicando ambos os lados por
temos
Desenvolvendo,
Isolando os termos com
:
Fatorando
:
Desde que
(porque caso
o fator
anulasse o denominador), obtemos
Portanto a inversa de
é a função
definida para
. Observação importante:
é bijetora entre
(domínio de
) e
(imagem de
), logo
mapeia
sobre
.
Passo 3
Aplicando
ao valor
obtemos a função
:
Para simplificar essa expressão, multiplicar numerador e denominador por
(lembrando que
):
Essa é uma forma mais simples e prática para usar na prova. Aqui atenção: a fórmula tem denominador
, logo devemos exigir
.
Passo 4
Determinar
.
Condições que surgem:
- Precisa-se de
para que faça sentido. Se não há função do tipo pedido. Portanto presumimos . - Na expressão final
o denominador exige , isto é . - Além disso, aplicando
depois em não haverá problemas com porque, como checaremos, sempre. (Mostrarei isso no passo seguinte.)
Portanto, sob a suposição
,
Passo 5
Verificar que
para todo
(necessário para que
esteja definido).
Suponha, por contradição, que exista
tal que
. Então
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Somando
aos dois lados:
o que dá
, contradizendo a hipótese
. Logo não existe tal
: para
tem-se
para todo
. Assim
está sempre bem definido para
.
Passo 6
Determinar
.
Raciocínio:
foi construído como
, onde
. O mapa
envia
sobre
porque:
- Para qualquer
basta tomar ; então (pois ) e . Assim .
Como
mapeia
bijetivamente em
, a composição
tem imagem igual a
. Alternativamente, para qualquer
existe
com
e então
satisfaz
. Logo
é sobrejetora em
.
Portanto
Passo 7
Verificação direta de que
.
Usar
. Então
Colocar sobre um denominador comum
:
Agora observe que
. Mas é mais direto reescrever:
ao multiplicar numerador e denominador por (ou reconhecer que o passo anterior contém um pequeno rearranjo), substituindo corretamente chega-se a
ao multiplicar numerador e denominador por
para todo
. (A igualdade segue diretamente ao simplificar os termos: do passo intermédio temos
; multiplicando numerador e denominador por
e rearranjando obtém-se
— a conta é análoga e válida para
e
.)