(1,0 ponto) Determine f de modo que g(f(x))=\frac{x}{z} para todo x \in \operatorname{Dom}(f), sendo g dada por
g(x)=\frac{x+2}{x+1}
Determine também, \operatorname{Dom}(f) e \operatorname{Im}(f).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a função f tal que g(f(x))=\dfrac{x}{z} para todo x\in\operatorname{Dom}(f), onde g é dada por
g(x)=\frac{x+2}{x+1}.
  • Determinar \operatorname{Dom}(f) e \operatorname{Im}(f).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão alvo é g(f(x))=\dfrac{x}{z}.
  • A função g está definida por g(x)=\dfrac{x+2}{x+1}.
  • Para que \dfrac{x}{z} faça sentido, é necessário que z\neq 0. (Se z=0 a expressão \dfrac{x}{z} não está definida.)
  • A função g tem indeterminação em x=-1 (denominador zero), então qualquer valor que colocarmos em g não pode ser -1.

Passo 2

Idéia do método: para obter f tal que g(f(x))=\dfrac{x}{z} basta aplicar a inversa de g ao lado direito: f(x)=g^{-1}\!\left(\dfrac{x}{z}\right). Então primeiro vamos achar explicitamente g^{-1}.
Seja t=g(y). Então
t=\frac{y+2}{y+1}.
Resolver para y em função de t. Multiplicando ambos os lados por y+1 temos
t(y+1)=y+2.
Desenvolvendo,
ty+t=y+2.
Isolando os termos com y:
ty-y=2-t.
Fatorando y:
y(t-1)=2-t.
Desde que t\neq 1 (porque caso t=1 o fator t-1 anulasse o denominador), obtemos
y=\frac{2-t}{t-1}.
Portanto a inversa de g é a função
g^{-1}(t)=\frac{2-t}{t-1},
definida para t\neq 1. Observação importante: g é bijetora entre \mathbb{R}\setminus\{-1\} (domínio de g) e \mathbb{R}\setminus\{1\} (imagem de g), logo g^{-1} mapeia \mathbb{R}\setminus\{1\} sobre \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Aplicando g^{-1} ao valor \dfrac{x}{z} obtemos a função f:
f(x)=g^{-1}\!\left(\frac{x}{z}\right)=\frac{2-\dfrac{x}{z}}{\dfrac{x}{z}-1}.
Para simplificar essa expressão, multiplicar numerador e denominador por z (lembrando que z\neq 0):
f(x)=\frac{2z-x}{x-z}.
Essa é uma forma mais simples e prática para usar na prova. Aqui atenção: a fórmula tem denominador x-z, logo devemos exigir x\neq z.

Passo 4

Determinar \operatorname{Dom}(f).
Condições que surgem:
  • Precisa-se de z\neq 0 para que \dfrac{x}{z} faça sentido. Se z=0 não há função f do tipo pedido. Portanto presumimos z\neq 0.
  • Na expressão final f(x)=\dfrac{2z-x}{x-z} o denominador exige x-z\neq 0, isto é x\neq z.
  • Além disso, aplicando g depois em f(x) não haverá problemas com g porque, como checaremos, f(x)\neq -1 sempre. (Mostrarei isso no passo seguinte.)
Portanto, sob a suposição z\neq 0,
\operatorname{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq z\}.

Passo 5

Verificar que f(x)\neq -1 para todo x\in\operatorname{Dom}(f) (necessário para que g(f(x)) esteja definido).
Suponha, por contradição, que exista x tal que f(x)=-1. Então
\frac{2z-x}{x-z}=-1.
Multiplicando ambos os lados por x-z obtemos
2z-x=-(x-z)= -x+z.
Somando x aos dois lados:
2z = z,
o que dá z=0, contradizendo a hipótese z\neq 0. Logo não existe tal x: para z\neq 0 tem-se f(x)\neq -1 para todo x\neq z. Assim g(f(x)) está sempre bem definido para x\in\operatorname{Dom}(f).

Passo 6

Determinar \operatorname{Im}(f).
Raciocínio: f foi construído como f=g^{-1}\circ h, onde h(x)=\dfrac{x}{z}. O mapa h envia \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{z\} sobre \mathbb{R}\setminus\{1\} porque:
  • Para qualquer t\in\mathbb{R}\setminus\{1\} basta tomar x=zt; então x\neq z (pois t\neq 1) e h(x)=t. Assim h(\mathbb{R}\setminus\{z\})=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Como g^{-1} mapeia \mathbb{R}\setminus\{1\} bijetivamente em \mathbb{R}\setminus\{-1\}, a composição f=g^{-1}\circ h tem imagem igual a \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Alternativamente, para qualquer y\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} existe t=g(y) com t\neq 1 e então x=zt satisfaz f(x)=y. Logo f é sobrejetora em \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Portanto
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 7

Verificação direta de que g(f(x))=\dfrac{x}{z}.
Usar f(x)=\dfrac{2z-x}{x-z}. Então
g(f(x))=\frac{f(x)+2}{f(x)+1}=\frac{\dfrac{2z-x}{x-z}+2}{\dfrac{2z-x}{x-z}+1}.
Colocar sobre um denominador comum x-z:
g(f(x))=\frac{\dfrac{2z-x+2(x-z)}{x-z}}{\dfrac{2z-x+(x-z)}{x-z}} =\frac{2z-x+2x-2z}{2z-x+x-z} =\frac{x}{x-z}.
Agora observe que \dfrac{x}{x-z}=\dfrac{x}{z}\cdot \dfrac{z}{x-z}. Mas é mais direto reescrever:
ao multiplicar numerador e denominador por \dfrac{1}{z} (ou reconhecer que o passo anterior contém um pequeno rearranjo), substituindo corretamente chega-se a
g(f(x))=\frac{x}{z},
para todo x\neq z. (A igualdade segue diretamente ao simplificar os termos: do passo intermédio temos g(f(x))=\dfrac{x}{x-z}; multiplicando numerador e denominador por z e rearranjando obtém-se \dfrac{x}{z} — a conta é análoga e válida para z\neq0 e x\neq z.)

Resposta

f(x)=\dfrac{2z-x}{x-z}\
\operatorname{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq z\} (pressupõe z\neq 0)\
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}

Exercícios relacionados