Seja U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} o conjunto universo.
Encontre o maior conjunto D satisfazendo D \cup C=\{1,4,5,6\}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • O universo é U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.
  • Há a condição D\cup C=\{1,4,5,6\}.
  • A pergunta: encontrar o maior conjunto D que satisfaça essa igualdade.
Observação útil nesta etapa: o conjunto C não foi explicitamente definido no enunciado. Ainda assim, com a igualdade dada podemos tirar conclusões sobre quais elementos D pode ou não conter. Não vou pedir mais informações: vou trabalhar com a igualdade dada e buscar o maior D compatível com ela.

Passo 2

Lembrando o conceito de união e uma consequência imediata:
  • Defina S=\{1,4,5,6\} (o lado direito da igualdade).
  • Por definição de união, D\cup C=S significa que todo elemento pertencente a D ou a C (ou a ambos) pertence a S, e nenhum elemento fora de S pertence a D nem a C.
Agora uma dedução direta e muito importante:
  • Se x\in D então, porque D\subseteq D\cup C, vale x\in D\cup C. Como D\cup C=S, segue x\in S.
  • Logo, todo elemento de D pertence a S. Em símbolos: D\subseteq S.
Essa é a ideia chave: a condição da união força D a ser um subconjunto de S.

Passo 3

O que significa "maior conjunto D" aqui:
  • Como acabamos de ver, qualquer D que satisfaça D\cup C=S precisa obedecer D\subseteq S. Portanto D não pode ter elementos fora de S.
  • Entre todos os subconjuntos de S, o maior (pelo critério de inclusão) é o próprio S.
Logo, o maior D possível é D=S=\{1,4,5,6\}, desde que exista algum C tal que a união com esse D S. Vamos mostrar que existe tal C.

Passo 4

Exibindo um C que funciona (para garantir existência):
  • Tome, por exemplo, C=S=\{1,4,5,6\}. Então
D\cup C = S\cup S = S,
logo a igualdade é satisfeita. Outros C também servem (qualquer C\subseteq S funciona desde que não contenha elementos fora de S), mas já vimos que pelo menos um C existe.

Passo 5

Mostrando que não existe D maior:
  • Se tentássemos um conjunto D' que contivesse algum elemento y\notin S, então y\in D' implicaria y\in D'\cup C. Mas isso contradiz D'\cup C=S porque y\notin S. Portanto não é possível ter D' estritamente maior que S.
  • Conclusão: S é o maior conjunto possível D que satisfaz a igualdade.

Resposta

\{1,4,5,6\}

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