Seja
o conjunto universo.
Encontre o maior conjunto
satisfazendo
.
Encontre o maior conjunto
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- O universo é
. - Há a condição
. - A pergunta: encontrar o maior conjunto
que satisfaça essa igualdade.
Observação útil nesta etapa: o conjunto
não foi explicitamente definido no enunciado. Ainda assim, com a igualdade dada podemos tirar conclusões sobre quais elementos
pode ou não conter. Não vou pedir mais informações: vou trabalhar com a igualdade dada e buscar o maior
compatível com ela.
Passo 2
Lembrando o conceito de união e uma consequência imediata:
- Defina
(o lado direito da igualdade). - Por definição de união,
significa que todo elemento pertencente a ou a (ou a ambos) pertence a , e nenhum elemento fora de pertence a nem a .
Agora uma dedução direta e muito importante:
- Se
então, porque , vale . Como , segue . - Logo, todo elemento de
pertence a . Em símbolos: .
Essa é a ideia chave: a condição da união força
a ser um subconjunto de
.
Passo 3
O que significa "maior conjunto
" aqui:
- Como acabamos de ver, qualquer
que satisfaça precisa obedecer . Portanto não pode ter elementos fora de . - Entre todos os subconjuntos de
, o maior (pelo critério de inclusão) é o próprio .
Logo, o maior
possível é
, desde que exista algum
tal que a união com esse
dê
. Vamos mostrar que existe tal
.
Passo 4
Exibindo um
que funciona (para garantir existência):
- Tome, por exemplo,
. Então
logo a igualdade é satisfeita. Outros
também servem (qualquer
funciona desde que não contenha elementos fora de
), mas já vimos que pelo menos um
existe.
Passo 5
Mostrando que não existe
maior:
- Se tentássemos um conjunto
que contivesse algum elemento , então implicaria . Mas isso contradiz porque . Portanto não é possível ter estritamente maior que . - Conclusão:
é o maior conjunto possível que satisfaz a igualdade.