A pergunta é: determinar o valor de k de modo que f seja contínua no ponto x=3.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Para }x\neq 3,\; f(x)=\frac{x^{3}-27}{x-3}.
\text{Em }x=3,\; f(3)=k\\ (\text{valor dado por parâmetro}).â]
Passo 2
Lembrete didático (o que significa continuidade num ponto): uma função f é contínua em x=3 se, e somente se,
\lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
Aqui f(3)=k. Logo, para que f seja contínua em 3 precisamos calcular \lim_{x\to 3} f(x) (usando a expressão válida para x\neq 3) e igualar esse limite a k.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para x\neq 3. Use a fatoração de diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=3 obtemos
x^{3}-27=(x-3)\big(x^{2}+3x+9\big).
Substituindo na fração (e lembrando que podemos cancelar (x-3) porque estamos na parte x\neq 3):
Pelo critério de continuidade (Passo 2) precisamos ter \lim_{x\to 3} f(x)=f(3). Assim
k=f(3)=\lim_{x\to 3} f(x)=27.
Interpretação rápida: originalmente a expressão estava indefinida em x=3 (divisão por zero), mas o limite existe e vale 27; definir f(3)=27 remove a descontinuidade (chamada de descontinuidade removível).