(1,0 ponto) Determine o valor de k, de modo que a função f(x) seja contínua no ponto x=3, onde
f(x)=\left\{\begin{array}{r} \frac{x^{3}-27}{x-3}, \text { se } x \neq 3 \\\ k, \text { se } x=3 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}-27}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] k, & \text{se } x=3. \end{cases}
A pergunta é: determinar o valor de k de modo que f seja contínua no ponto x=3.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Para }x\neq 3,\; f(x)=\frac{x^{3}-27}{x-3}.
\text{Em }x=3,\; f(3)=k\\ (\text{valor dado por parâmetro}).â]

Passo 2

Lembrete didático (o que significa continuidade num ponto): uma função f é contínua em x=3 se, e somente se,
\lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
Aqui f(3)=k. Logo, para que f seja contínua em 3 precisamos calcular \lim_{x\to 3} f(x) (usando a expressão válida para x\neq 3) e igualar esse limite a k.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para x\neq 3. Use a fatoração de diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=3 obtemos
x^{3}-27=(x-3)\big(x^{2}+3x+9\big).
Substituindo na fração (e lembrando que podemos cancelar (x-3) porque estamos na parte x\neq 3):
\frac{x^{3}-27}{x-3}=\frac{(x-3)\big(x^{2}+3x+9\big)}{x-3}=x^{2}+3x+9,\qquad (x\neq 3).

Passo 4

Agora o limite \lim_{x\to 3} f(x) é simplesmente o limite do polinômio x^{2}+3x+9, que é obtido pela substituição direta:
\lim_{x\to 3} f(x)=\lim_{x\to 3}\big(x^{2}+3x+9\big)=3^{2}+3\cdot 3+9.
Calculemos:
3^{2}=9,\quad 3\cdot 3=9,\quad 9+9+9=27.
Portanto
\lim_{x\to 3} f(x)=27.

Passo 5

Pelo critério de continuidade (Passo 2) precisamos ter \lim_{x\to 3} f(x)=f(3). Assim
k=f(3)=\lim_{x\to 3} f(x)=27.
Interpretação rápida: originalmente a expressão estava indefinida em x=3 (divisão por zero), mas o limite existe e vale 27; definir f(3)=27 remove a descontinuidade (chamada de descontinuidade removível).

Resposta

k=27

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