Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Maclaurin a função
f(x)=\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Informações e objetivos claros:
  • Função dada: \displaystyle f(x)=\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
  • Objetivo: encontrar a série de Maclaurin (expansão em potências de x centrada em 0).
  • Precisamos também identificar o intervalo (ou raio) de convergência da série.
  • Observação útil (a confirmar na resolução): a expansão vai valer pelo menos para |x|<1, porque os denominadores 1\pm x aparecem na função.

Passo 2

Escolha do método (explico como raciocinei, sem complicar): a maneira mais direta é obter f'(x), expandir essa derivada como série geométrica simples e depois integrar termo a termo para recuperar f(x). Por que isso funciona bem?
  • A derivada de \ln costuma simplificar para frações do tipo 1/(1\pm x), e estas são exatamente o lugar onde a série geométrica \frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^\infty r^n entra.
  • Integrar uma série de potências termo a termo é permitido dentro do raio de convergência e nos dá a série de Maclaurin facilmente.
    Vou aplicar esse caminho passo a passo.

Passo 3

Calcular f'(x) passo a passo:
f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x).
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1+x)-\frac{d}{dx}\ln(1-x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}.
Agora somamos as frações:
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{1-x+1+x}{(1-x)(1+x)}=\frac{2}{1-x^2}.
Portanto
f'(x)=\frac{2}{1-x^2}.

Passo 4

Expandir \displaystyle \frac{1}{1-x^2} usando a série geométrica básica:
recall (lembrete prático): para |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^n.
Aqui escolhemos r=x^2. Logo, para |x|<1,
\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
Multiplicando por 2 (porque f'(x)=2/(1-x^2)):
f'(x)=2\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
Observação didática: essa série tem apenas potências pares x^{0},x^{2},x^{4},\dots, o que indica que ao integrar aparecerão apenas potências ímpares em f(x).

Passo 5

Integrar termo a termo para obter f(x).
Integrando a série de f'(x):
f(x)=C+2\sum_{n=0}^{\infty}\int x^{2n}\,dx = C+2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Justificativa curta: dentro do raio de convergência ( |x|<1) é permitido integrar série de potências termo a termo; o resultado é uma série de potências que representa f até uma constante C.
Determinando a constante C usando f(0):
f(0)=\ln\!\left(\frac{1+0}{1-0}\right)=\ln(1)=0.
Substituindo x=0 na série dá C+2\cdot 0= C. Logo C=0.
Portanto chegamos à expansão:
f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 6

Escrever a série na forma explícita e dar os primeiros termos (útil na prova para reconhecer a série):
f(x)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Isto é a série de Maclaurin pedida.

Passo 7

Raio e intervalo de convergência (explicando por que): a expansão inicial usada foi a geométrica com r=x^2, que converge para |x^2|<1, isto é |x|<1. A integração termo a termo preserva o mesmo raio de convergência. Nos pontos \,x=\pm 1 a série corresponde a 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\pm 1)^{2n+1}}{2n+1}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\pm 1}{2n+1}, que não converge (soma de termos \sim 1/(2n+1) é divergente). Além disso, a função original não está definida em \pm 1. Portanto o intervalo de validade é
|x|<1.

Passo 8

Checagem rápida numérica para ganhar confiança (exemplo prático):
  • Exemplo: x=\tfrac{1}{2}. Valor exato: f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln\!\left(\frac{3/2}{1/2}\right)=\ln 3\approx 1,098612.
  • Pela série truncada nos dois primeiros termos:
2\left(\tfrac{1}{2}+\frac{(1/2)^3}{3}\right)=2\left(\tfrac{1}{2}+\frac{1}{24}\right)=2\left(\tfrac{13}{24}\right)=\tfrac{13}{12}\approx 1,08333,
que já é bem próximo do valor exato. Isso mostra que a série converge razoavelmente rápido para |x| não muito próximo de 1.

Resposta

f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\right),\quad |x|<1.

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