Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Maclaurin a função
Informações e objetivos claros:
- Função dada:
. - Objetivo: encontrar a série de Maclaurin (expansão em potências de
centrada em ). - Precisamos também identificar o intervalo (ou raio) de convergência da série.
- Observação útil (a confirmar na resolução): a expansão vai valer pelo menos para
, porque os denominadores aparecem na função.
Passo 2
Escolha do método (explico como raciocinei, sem complicar): a maneira mais direta é obter
, expandir essa derivada como série geométrica simples e depois integrar termo a termo para recuperar
. Por que isso funciona bem?
- A derivada de
costuma simplificar para frações do tipo , e estas são exatamente o lugar onde a série geométrica entra. - Integrar uma série de potências termo a termo é permitido dentro do raio de convergência e nos dá a série de Maclaurin facilmente.
Vou aplicar esse caminho passo a passo.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Derivando termo a termo:
Agora somamos as frações:
Portanto
Passo 4
Expandir
usando a série geométrica básica:
recall (lembrete prático): para vale
recall (lembrete prático): para
Aqui escolhemos
. Logo, para
,
Multiplicando por
(porque
):
Observação didática: essa série tem apenas potências pares
, o que indica que ao integrar aparecerão apenas potências ímpares em
.
Passo 5
Integrar termo a termo para obter
.
Integrando a série de :
Integrando a série de
Justificativa curta: dentro do raio de convergência (
) é permitido integrar série de potências termo a termo; o resultado é uma série de potências que representa
até uma constante
.
Determinando a constante
usando
:
Substituindo
na série dá
. Logo
.
Portanto chegamos à expansão:
Passo 6
Escrever a série na forma explícita e dar os primeiros termos (útil na prova para reconhecer a série):
Isto é a série de Maclaurin pedida.
Passo 7
Raio e intervalo de convergência (explicando por que): a expansão inicial usada foi a geométrica com
, que converge para
, isto é
. A integração termo a termo preserva o mesmo raio de convergência. Nos pontos
a série corresponde a
, que não converge (soma de termos
é divergente). Além disso, a função original não está definida em
. Portanto o intervalo de validade é
Passo 8
Checagem rápida numérica para ganhar confiança (exemplo prático):
- Exemplo:
. Valor exato: . - Pela série truncada nos dois primeiros termos:
que já é bem próximo do valor exato. Isso mostra que a série converge razoavelmente rápido para
não muito próximo de
.