Um ponto é escolhido ao acaso no interior de um círculo de raio R . Qual é a probabilidade de que o ponto esteja mais próximo do centro do que da circunferência?
a) 1 / 4
b) 1 / 3
c) 1 / 2
d) 2 / 3

Passo 1

O enunciado dá um círculo de raio R e diz que um ponto é escolhido ao acaso no interior desse círculo. A pergunta é: qual é a probabilidade de que o ponto escolhido esteja mais próximo do centro do que da circunferência?
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio do círculo: R.
  • O ponto é escolhido “ao acaso no interior” do círculo — isto significa escolha uniforme em área sobre o disco de raio R.
  • Queremos a probabilidade do evento: distância do ponto ao centro < distância do ponto até a circunferência.

Passo 2

Entender as distâncias. Seja r a distância do ponto ao centro, com 0 \le r \le R.
  • A distância do ponto até o centro é simplesmente \,r\,.
  • A menor distância do ponto até a circunferência é a distância radial até o ponto mais próximo da borda, que vale \,R-r\,. (Intuitivamente: ao ir da posição radial do ponto para fora, a circunferência mais próxima fica a uma distância R-r.)
Portanto a condição “o ponto está mais próximo do centro do que da circunferência” torna-se:
r < R - r.

Passo 3

Resolver a desigualdade para r.
r < R - r \quad\Longrightarrow\quad 2r < R \quad\Longrightarrow\quad r < \frac{R}{2}.
Ou seja, o ponto deve estar a uma distância do centro menor que R/2. Geometricamente, o conjunto de pontos favoráveis é o disco centrado no centro original com raio R/2.

Passo 4

Calcular a probabilidade usando que a escolha é uniforme em área. Para seleção uniforme no disco de raio R, a probabilidade de cair numa região é a razão entre a área da região favorável e a área total.
Área do disco de raio R: \pi R^{2}.
Área do disco favorável (raio R/2): \pi \left(\dfrac{R}{2}\right)^{2} = \pi \dfrac{R^{2}}{4}.
Logo a probabilidade é
\frac{\pi \dfrac{R^{2}}{4}}{\pi R^{2}} = \frac{1}{4}.

Passo 5

(Verificação alternativa, útil para prova) Podemos usar a distribuição radial para reforçar a ideia: a densidade de probabilidade do raio r quando se escolhe uniformemente por área é f(r)=\dfrac{2r}{R^{2}} para 0\le r\le R. Então
P\big(r<\tfrac{R}{2}\big)=\int_{0}^{R/2}\frac{2r}{R^{2}}\,dr=\left.\frac{r^{2}}{R^{2}}\right|_{0}^{R/2}=\frac{(R/2)^{2}}{R^{2}}=\frac{1}{4},
mesmo resultado. Bom de lembrar: uniformidade em área implica mais probabilidade perto da borda se olhar só pelo raio, por isso aparece o fator r na densidade.

Resposta

a) \dfrac{1}{4}

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