Nos próximos problemas, utilize \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} para a massa específica da água doce \mathrm{e} \rho_{c}=2,40 \times 10_{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} para a massa específica do concreto. (Ver a nota de rodapé da página 234 para saber como determinar o peso específico de um material, sendo sua massa específica dada).
A base da barragem de um lago é projetada para resistir a até 120 \% da força horizontal da água. Após a construçảo, verificou-se a deposiçào de lodo (que é equivalente a um líquido de densidade \rho_{\mathrm{s}}=1,76 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) no fundo do lago a uma taxa de 12 \mathrm{~mm} / ano. Considerando uma seção da barragem de 1 m de largura, determine quantos anos se passarão até a barragem deixar de ser segura.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar quantos anos se passarão até a barragem deixar de ser segura, isto é, até a força horizontal exercida pelo líquido (água + lodo depositado) exceder a capacidade da barragem, que é 120\% da força horizontal original causada só pela água.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Massa específica da água: \rho = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Massa específica do lodo (equivalente a um líquido): \rho_{s} = 1,76\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A barragem foi projetada para resistir até 120\% da força horizontal da água.
  • Taxa de deposição do lodo: 12\\ \mathrm{mm/ano}.
  • Considerar uma seção da barragem de largura 1\\ \mathrm{m} (ou seja, força por metro de largura).
  • Dados ausentes: a profundidade total original do lago H não foi fornecida. Isso é relevante porque a espessura de lodo necessária depende de H. Vou obter uma expressão final em função de H e, onde possível, dar valores numéricos exemplares.

Passo 2

Relembrando formulação física (aulas rápidas e úteis):
  • A pressão hidrostática em uma profundidade y abaixo da superfície de um líquido de massa específica \rho é dada por \;p(y)=\rho g y\;, onde g é a aceleração da gravidade. Aqui não precisamos do valor numérico de g, pois ele vai cancelar mais adiante, mas é bom saber a fórmula.
  • A força horizontal total (resultante) exercida por um líquido de densidade \rho e profundidade H sobre uma parede vertical de largura unitária é
F_{\text{água}}=\int_{0}^{H} \rho g y\,dy = \tfrac{1}{2}\rho g H^{2}.á
Vou usar isso como referência (força original da água).

Passo 3

Modelo com duas camadas (água sobre lodo):
  • Seja H a profundidade total do lago (da superfície até o fundo).
  • Seja s a espessura do lodo depositado no fundo (medida a partir do fundo para cima). Então:
    • Camada superior (espessura H-s): água com densidade \rho.
    • Camada inferior (espessura s): lodo com densidade \rho_{s}.
  • A pressão é peçawise, mas para obter a força total por metro de largura basta integrar a pressão ao longo da profundidade:
F_{\text{total}}=\int_{0}^{H-s}\rho g y\,dy+\int_{H-s}^{H}\big[\rho g (H-s)+\rho_{s}g(y-(H-s))\big]\,dy.
Agora vou calcular essas integrais passo a passo.

Passo 4

Cálculo das integrais e simplificação algébrica (mostrando tudo sem pular):
  • Primeiro termo:
\int_{0}^{H-s}\rho g y\,dy = \tfrac{1}{2}\rho g (H-s)^{2}.
  • Segundo termo: separando as partes
\int_{H-s}^{H}\rho g (H-s)\,dy = \rho g (H-s)\cdot s,
\int_{H-s}^{H}\rho_{s}g(y-(H-s))\,dy = \tfrac{1}{2}\rho_{s}g s^{2}.
  • Somando tudo:
F_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}\rho g (H-s)^{2}+\rho g (H-s)s+\tfrac{1}{2}\rho_{s}g s^{2}.
Agora simplifico os dois primeiros termos. Desenvolvendo e somando:
\tfrac{1}{2}\rho g (H-s)^{2}+\rho g (H-s)s = \tfrac{1}{2}\rho g H^{2} - \tfrac{1}{2}\rho g s^{2}.
Portanto
F_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}\rho g H^{2} + \tfrac{1}{2}(\rho_{s}-\rho)g s^{2}.
Observação útil: o primeiro termo é exatamente a força que a água sozinha faria ( F_{\text{água}}=\tfrac{1}{2}\rho g H^{2}á). O aumento devido ao lodo é o segundo termo, que depende de s^{2} e da diferença de densidades \rho_{s}-\rho. Repare também que g aparece em todos os termos e poderia ser cancelado nas equações de comparação.

Passo 5

Condição de segurança e resolução para s:
  • A barragem suporta até 120\% da força da água, isto é a força limite é 1{,}20\,F_{\text{água}}á.
  • A perda de segurança ocorre quando F_{\text{total}} = 1{,}20\,F_{\text{água}}á. Substituindo:
\tfrac{1}{2}\rho g H^{2} + \tfrac{1}{2}(\rho_{s}-\rho)g s^{2} = 1{,}20\cdot \tfrac{1}{2}\rho g H^{2}.
  • Cancelando \tfrac{1}{2}g dos dois lados:
\rho H^{2} + (\rho_{s}-\rho) s^{2} = 1{,}20\,\rho H^{2}.
  • Subtraindo \rho H^{2} e isolando s^{2}:
(\rho_{s}-\rho) s^{2} = 0{,}20\,\rho H^{2},
s^{2} = \frac{0{,}20\,\rho}{\rho_{s}-\rho}\;H^{2},
s = H\sqrt{\frac{0{,}20\,\rho}{\rho_{s}-\rho}}.
Portanto a espessura de lodo necessária é proporcional à profundidade total H (logo, sem conhecer H não dá para um número absoluto para s). Boa notícia: a dependência em H é simples e linear.

Passo 6

Transformar s em tempo usando a taxa de deposição:
  • Taxa de deposição fornecida: 12\\ \mathrm{mm/ano} = 0{,}012\\ \mathrm{m/ano}. Vou chamar essa taxa de r=0{,}012\\ \mathrm{m/ano}.
  • O tempo necessário para formar espessura s é t = s / r.
  • Substituindo s:
t = \frac{H}{r}\sqrt{\frac{0{,}20\,\rho}{\rho_{s}-\rho}}.
Agora uso os valores numéricos fornecidos para obter o fator numérico:
\rho = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \rho_{s}=1{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad r=0{,}012\\ \mathrm{m/ano}.
Calculo da raiz:
\sqrt{\frac{0{,}20\cdot 10^{3}}{1{,}76\times10^{3}-10^{3}}} = \sqrt{\frac{200}{760}} = \sqrt{0{,}2631579\ldots}\approx 0{,}51309.
Então
t \approx \frac{H}{0{,}012}\cdot 0{,}51309 \approx 42{,}76\;H\quad\text{(anos)},
onde H é medido em metros. Ou seja, o tempo é aproximadamente 42{,}76 vezes a profundidade H em anos.

Passo 7

Interpretação e exemplos numéricos (úteis para prova e intuição):
  • Expressão final resumida:
t \approx 42{,}76\;H\\ \text{anos},\quad H\\ \text{em metros}.
  • Exemplos:
    • Se H=5\\ \mathrm{m}, então t\approx 42{,}76\times 5 \approx 213{,}8 anos.
    • Se H=10\\ \mathrm{m}, então t\approx 427{,}6 anos.
  • Observações finais:
    • Sem o valor de H não é possível dar um número absoluto de anos; dei a expressão em função de H e exemplos para entender a escala do problema.
    • A razão pela qual H aparece é que a força original da água cresce com H^{2}, e a contribuição extra do lodo cresce com s^{2}; equilibrando essas energias a espessura crítica s fica proporcional a H.

Resposta

t=\dfrac{H}{0{,}012}\sqrt{\dfrac{0{,}20\,\rho}{\rho_{s}-\rho}}\approx 42{,}76\;H\\ \text{anos (com \(H em metros).})

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