Nos próximos problemas, utilize
para a massa específica da água doce
para a massa específica do concreto. (Ver a nota de rodapé da página 234 para saber como determinar o peso específico de um material, sendo sua massa específica dada).
A base da barragem de um lago é projetada para resistir a até
da força horizontal da água. Após a construçảo, verificou-se a deposiçào de lodo (que é equivalente a um líquido de densidade
) no fundo do lago a uma taxa de
ano. Considerando uma seção da barragem de 1 m de largura, determine quantos anos se passarão até a barragem deixar de ser segura.
A base da barragem de um lago é projetada para resistir a até
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar quantos anos se passarão até a barragem deixar de ser segura, isto é, até a força horizontal exercida pelo líquido (água + lodo depositado) exceder a capacidade da barragem, que é
da força horizontal original causada só pela água.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
- Massa específica da água:
. - Massa específica do lodo (equivalente a um líquido):
. - A barragem foi projetada para resistir até
da força horizontal da água. - Taxa de deposição do lodo:
. - Considerar uma seção da barragem de largura
(ou seja, força por metro de largura). - Dados ausentes: a profundidade total original do lago
não foi fornecida. Isso é relevante porque a espessura de lodo necessária depende de . Vou obter uma expressão final em função de e, onde possível, dar valores numéricos exemplares.
Passo 2
Relembrando formulação física (aulas rápidas e úteis):
- A pressão hidrostática em uma profundidade
abaixo da superfície de um líquido de massa específica é dada por , onde é a aceleração da gravidade. Aqui não precisamos do valor numérico de , pois ele vai cancelar mais adiante, mas é bom saber a fórmula. - A força horizontal total (resultante) exercida por um líquido de densidade
e profundidade sobre uma parede vertical de largura unitária é
Vou usar isso como referência (força original da água).
Passo 3
Modelo com duas camadas (água sobre lodo):
- Seja
a profundidade total do lago (da superfície até o fundo). - Seja
a espessura do lodo depositado no fundo (medida a partir do fundo para cima). Então: - Camada superior (espessura
): água com densidade . - Camada inferior (espessura
): lodo com densidade .
- Camada superior (espessura
- A pressão é peçawise, mas para obter a força total por metro de largura basta integrar a pressão ao longo da profundidade:
Agora vou calcular essas integrais passo a passo.
Passo 4
Cálculo das integrais e simplificação algébrica (mostrando tudo sem pular):
- Primeiro termo:
- Segundo termo: separando as partes
- Somando tudo:
Agora simplifico os dois primeiros termos. Desenvolvendo e somando:
Portanto
Observação útil: o primeiro termo é exatamente a força que a água sozinha faria (
). O aumento devido ao lodo é o segundo termo, que depende de
e da diferença de densidades
. Repare também que
aparece em todos os termos e poderia ser cancelado nas equações de comparação.
Passo 5
Condição de segurança e resolução para
:
- A barragem suporta até
da força da água, isto é a força limite é . - A perda de segurança ocorre quando
. Substituindo:
- Cancelando
dos dois lados:
- Subtraindo
e isolando :
Portanto a espessura de lodo necessária é proporcional à profundidade total
(logo, sem conhecer
não dá para um número absoluto para
). Boa notícia: a dependência em
é simples e linear.
Passo 6
Transformar
em tempo usando a taxa de deposição:
- Taxa de deposição fornecida:
. Vou chamar essa taxa de . - O tempo necessário para formar espessura
é . - Substituindo
:
Agora uso os valores numéricos fornecidos para obter o fator numérico:
Calculo da raiz:
Então
onde
é medido em metros. Ou seja, o tempo é aproximadamente
vezes a profundidade
em anos.
Passo 7
Interpretação e exemplos numéricos (úteis para prova e intuição):
- Expressão final resumida:
- Exemplos:
- Se
, então anos. - Se
, então anos.
- Se
- Observações finais:
- Sem o valor de
não é possível dar um número absoluto de anos; dei a expressão em função de e exemplos para entender a escala do problema. - A razão pela qual
aparece é que a força original da água cresce com , e a contribuição extra do lodo cresce com ; equilibrando essas energias a espessura crítica fica proporcional a .
- Sem o valor de
Resposta
em metros).})