Determine a condutância de um fio com 2,05 \mathrm{~mm} de diâmetro cujo comprimento é 1000 pés, supondo que este fio seja feito de:
Alumínio

Passo 1

O enunciado pede: determinar a condutância de um fio de diâmetro d=2{,}05\,\mathrm{mm} e comprimento L=1000 pés, supondo que o fio seja de alumínio. Dados importantes fornecidos:
d=2{,}05\,\mathrm{mm}, \qquad L=1000\,\text{ft}, \qquad \text{material: alumínio}.í
Vou precisar também do valor típico da resistividade do alumínio; usarei o valor padrão à temperatura ambiente:
\rho_{\text{Al}} = 2{,}82\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro convertemos as unidades para o SI (metros). Converto o diâmetro para metros e obtenho o raio:
d = 2{,}05\,\mathrm{mm} = 2{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m},
r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}05\times10^{-3}}{2} = 1{,}025\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Converto o comprimento de pés para metros sabendo que 1\,\text{ft}=0{,}3048\,\mathrm{m}:
L = 1000\,\text{ft} = 1000\times0{,}3048\,\mathrm{m} = 304{,}8\,\mathrm{m}.

Passo 3

Calculo a área da secção transversal (círculo) do fio usando A=\pi r^{2}. Vou mostrar o conceito: a área de um círculo de raio r é \pi vezes o quadrado do raio.
A=\pi r^{2}=\pi\left(1{,}025\times10^{-3}\right)^{2}.
Agora calculo numericamente:
\left(1{,}025\times10^{-3}\right)^{2}=1{,}050625\times10^{-6},
A=\pi\times1{,}050625\times10^{-6}=3{,}298672\times10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Explico a relação entre resistência, resistividade e condutância.
  • A resistência elétrica de um fio uniforme é dada por
R=\frac{\rho L}{A},
onde \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}), L é o comprimento (em \mathrm{m}) e A é a área da secção (em \mathrm{m}^2). Intuição: maior área = menos resistência; maior comprimento = mais resistência.
  • A condutância é o inverso da resistência:
G=\frac{1}{R}=\frac{A}{\rho L}.
Calculo primeiro o produto \rho L (mostrando unidades):
\rho L = \left(2{,}82\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}\right)\times\left(304{,}8\,\mathrm{m}\right)=8{,}59536\times10^{-6}\,\Omega\cdot\mathrm{m}^{2}.
Posso também calcular a resistência como verificação:
R=\frac{\rho L}{A}=\frac{8{,}59536\times10^{-6}\,\Omega\cdot\mathrm{m}^{2}}{3{,}298672\times10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}}.
Se fizer essa divisão eu obtenho o valor da resistência (este é um passo intermediário; a condutância será dada no final).

Passo 5

Aplico a fórmula da condutância escrevendo-a com os números obtidos (aqui deixo a fração pronta para a última divisão):
G=\frac{A}{\rho L}=\frac{3{,}298672\times10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}}{8{,}59536\times10^{-6}\,\Omega\cdot\mathrm{m}^{2}}.
Esta fração tem unidades \mathrm{m}^{2}/(\Omega\cdot\mathrm{m}^{2})=1/\Omega=\mathrm{S} (siemens), que é a unidade de condutância. Na próxima linha, dou o valor numérico final.

Resposta

Alumínio: 0{,}3838\,\mathrm{S}

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