Questão 4 ( 2,0 pontos): Um capacitor de capacitância 5,6 \mu \mathrm{~F}, inicialmente descarregado, foi conectado em série com um resistor de 9,4 \mathrm{k} \Omega e uma bateria. Responda às perguntas abaixo com duas casas decimais e nas unidades solicitadas.
a) Quanto vale a constante de tempo (em ms)?
b) Quanto tempo leva para que o capacitor atinja 46,1 \% da sua carga máxima (em ms )?
c) Sabendo que a diferença de potencial fornecida pela bateria é 3,8 \mathrm{~V}, qual a corrente no circuito (em mA) 5,7 \mathrm{~ms} depois que o circuito foi conectado (considerando carga inicial zero no capacitor)?

Passo 1

O enunciado dá um circuito série formado por um resistor e um capacitor, inicialmente com o capacitor descarregado, e pede três coisas. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
  • Capacitância: C = 5,6\\ \mu\mathrm{F}.
  • Resistência: R = 9,4\\ \mathrm{k}\Omega.
  • A bateria fornece uma diferença de potencial de V = 3,8\\ \mathrm{V} (usada apenas no item (c)).
  • Tempo pedido no item (c): t = 5,7\\ \mathrm{ms} após o fechamento do circuito.
    Perguntas:
    a) Calcular a constante de tempo \tau (em ms).
    b) Calcular o tempo necessário para que o capacitor atinja 46,1\% da carga máxima (em ms).
    c) Calcular a corrente no circuito (em mA) 5,7\\ \mathrm{ms} depois de conectado (partindo de carga inicial zero).

Passo 2

Entender a fórmula da constante de tempo e converter unidades.
  • A constante de tempo do circuito RC em série é dada por \tau = R C. Aqui \tau tem unidades de segundos se R estiver em ohms e C em farads.
  • Converter os valores para unidades do SI (ohm e farad): R = 9,4\\ \mathrm{k}\Omega = 9,4\times10^{3}\\ \Omega,
C = 5,6\\ \mu\mathrm{F} = 5,6\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Explicação curta da fórmula: \tau é o tempo característico do circuito, indica em quanto tempo a resposta (carga, corrente, tensão) muda exponencialmente. Depois de um tempo \tau, grandezas como a diferença entre a carga e o valor final decaem por um fator e^{-1}\approx0,3679.

Passo 3

Calcular \tau numericamente e converter para ms.
  • Multiplicando: \tau = R C = \left(9,4\times10^{3}\right)\left(5,6\times10^{-6}\right).
\tau = 9,4\cdot5,6\times10^{3-6} = 52,64\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para milissegundos: \tau = 52,64\\ \mathrm{ms}.
Dica prática para prova: multiplique os fatores numéricos normalmente e some os expoentes de dez; depois converta para a unidade desejada (aqui ms = 10^{-3} s).

Passo 4

Encontrar a fórmula para a carga em função do tempo e isolar o tempo pedido no item (b).
  • Para um capacitor carregando a partir de q(0)=0, a carga no tempo t é q(t)=Q_{\max}\left(1-e^{-t/\tau}\right),em que Q_{\max}=C V é a carga final (não precisamos do valor numérico de Q_{\max} para este item, só da fração).
  • Se queremos que o capacitor atinja uma fração f da carga máxima, isto é q(t)/Q_{\max}=f, então f = 1-e^{-t/\tau}.
  • Isolando t: e^{-t/\tau}=1-f \quad\Rightarrow\quad -\frac{t}{\tau}=\ln(1-f)
t = -\tau\ln(1-f).
Explicação do passo: usamos propriedades do logaritmo natural para inverter a exponencial. O argumento de \ln deve ser positivo; aqui 1-f>0 pois f<1.

Passo 5

Aplicar a fórmula do passo anterior com f=0,461 (ou seja 46,1\%).
  • Calcular 1-f: 1-f = 1-0,461 = 0,539.
  • Calcular o logaritmo: \ln(0,539)\approx -0,618038\quad(\text{valor aproximado, usando expansão ou calculadora}).ã
  • Usar \tau = 52,64\\ \mathrm{ms} (do Passo 3). Então t = -\tau\ln(1-f)= -52,64\\ \mathrm{ms}\times\ln(0,539).
t \approx 52,64\cdot0,618038\\ \mathrm{ms}\approx 32,53\\ \mathrm{ms}.
Observação didática: o logaritmo natural de um número menor que 1 é negativo; o sinal menos na fórmula garante que t seja positivo.

Passo 6

Determinar a expressão para a corrente no circuito durante a carga (item (c)).
  • A corrente em um circuito RC em série durante a carga é i(t)=\frac{V}{R}e^{-t/\tau},em que \dfrac{V}{R} é a corrente inicial i(0) (quando o capacitor está totalmente descarregado). Explicação: a queda de tensão no capacitor cresce com o tempo, fazendo a corrente decair exponencialmente com a mesma constante \tau.

Passo 7

Calcular numericamente a corrente em t=5,7\\ \mathrm{ms}.
  • Primeiro calcule a corrente inicial: \frac{V}{R}=\frac{3,8\\ \mathrm{V}}{9,4\times10^{3}\\ \Omega}= \frac{3,8}{9400}\\ \mathrm{A}\approx 0,0004042553\\ \mathrm{A}.Em miliampères: \frac{V}{R}\approx 0,4042553\\ \mathrm{mA}.
  • Calcular t/\tau usando ms para ambos: \frac{t}{\tau}=\frac{5,7\\ \mathrm{ms}}{52,64\\ \mathrm{ms}}\approx 0,108287.
  • Calcular o fator exponencial: e^{-t/\tau}=e^{-0,108287}\approx 0,897365.
  • Finalmente: i(5,7\\ \mathrm{ms})=\left(0,4042553\\ \mathrm{mA}\right)\times0,897365\approx 0,36269\\ \mathrm{mA}.
  • Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido): 0,36\\ \mathrm{mA}.

Resposta

52,64\\ \mathrm{ms}
32,53\\ \mathrm{ms}
0,36\\ \mathrm{mA}

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