Questão 4 ( 2,0 pontos): Um capacitor de capacitância
, inicialmente descarregado, foi conectado em série com um resistor de
e uma bateria. Responda às perguntas abaixo com duas casas decimais e nas unidades solicitadas.
a) Quanto vale a constante de tempo (em ms)?
b) Quanto tempo leva para que o capacitor atinja
da sua carga máxima (em ms )?
c) Sabendo que a diferença de potencial fornecida pela bateria é
, qual a corrente no circuito (em mA)
depois que o circuito foi conectado (considerando carga inicial zero no capacitor)?
a) Quanto vale a constante de tempo (em ms)?
b) Quanto tempo leva para que o capacitor atinja
c) Sabendo que a diferença de potencial fornecida pela bateria é
Passo 1
O enunciado dá um circuito série formado por um resistor e um capacitor, inicialmente com o capacitor descarregado, e pede três coisas. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
- Capacitância:
. - Resistência:
. - A bateria fornece uma diferença de potencial de
(usada apenas no item (c)). - Tempo pedido no item (c):
após o fechamento do circuito.
Perguntas:
a) Calcular a constante de tempo(em ms).
b) Calcular o tempo necessário para que o capacitor atinjada carga máxima (em ms).
c) Calcular a corrente no circuito (em mA)depois de conectado (partindo de carga inicial zero).
Passo 2
Entender a fórmula da constante de tempo e converter unidades.
- A constante de tempo do circuito RC em série é dada por
. Aqui tem unidades de segundos se estiver em ohms e em farads. - Converter os valores para unidades do SI (ohm e farad):
Explicação curta da fórmula:
é o tempo característico do circuito, indica em quanto tempo a resposta (carga, corrente, tensão) muda exponencialmente. Depois de um tempo
, grandezas como a diferença entre a carga e o valor final decaem por um fator
.
Passo 3
Calcular
numericamente e converter para ms.
- Multiplicando:
- Converter para milissegundos:
Dica prática para prova: multiplique os fatores numéricos normalmente e some os expoentes de dez; depois converta para a unidade desejada (aqui ms =
s).
Passo 4
Encontrar a fórmula para a carga em função do tempo e isolar o tempo pedido no item (b).
- Para um capacitor carregando a partir de
, a carga no tempo é em que é a carga final (não precisamos do valor numérico de para este item, só da fração). - Se queremos que o capacitor atinja uma fração
da carga máxima, isto é , então - Isolando
:
Explicação do passo: usamos propriedades do logaritmo natural para inverter a exponencial. O argumento de
deve ser positivo; aqui
pois
.
Passo 5
Aplicar a fórmula do passo anterior com
(ou seja
).
- Calcular
: - Calcular o logaritmo:
- Usar
(do Passo 3). Então
Observação didática: o logaritmo natural de um número menor que 1 é negativo; o sinal menos na fórmula garante que
seja positivo.
Passo 6
Determinar a expressão para a corrente no circuito durante a carga (item (c)).
- A corrente em um circuito RC em série durante a carga é
em que é a corrente inicial (quando o capacitor está totalmente descarregado). Explicação: a queda de tensão no capacitor cresce com o tempo, fazendo a corrente decair exponencialmente com a mesma constante .
Passo 7
Calcular numericamente a corrente em
.
- Primeiro calcule a corrente inicial:
Em miliampères: - Calcular
usando ms para ambos: - Calcular o fator exponencial:
- Finalmente:
- Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido):
.