(1 ponto) Um funcionário dos correios deve remeter, por via aérea, para a Europa, 10 pacotes de um lote de 19. Acontece que ele mistura todos e aplica o carimbo de “via aérea” aleatoriamente em 10 pacotes. Qual é a probabilidade de que apenas 4 dos pacotes que receberam o carimbo realmente deveriam ser enviados via aérea?
a. 0.275
b. 0.211
c. 0.510
d. 0.191
e. 0.809

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede claramente o seguinte:
  • Temos um total de 19 pacotes.
  • Desses, exatamente 10 pacotes deveriam ser enviados por via aérea (são os “corretos”).
  • O funcionário aplica o carimbo de “via aérea” aleatoriamente em 10 pacotes (escolhe 10 de 19 sem olhar).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente 4 dos 10 pacotes carimbados sejam justamente aqueles que deveriam ser enviados por via aérea?

Passo 2

Raciocínio combinatório (ideia geral, sem fórmulas complicadas ainda): todas as escolhas de quais 10 pacotes receberão o carimbo são igualmente prováveis. Para que haja exatamente 4 corretos carimbados, é preciso que:
  • Selecione 4 dos 10 pacotes que deveriam ir por via aérea (escolher quais desses 10 receberam o carimbo).
  • E, ao mesmo tempo, selecione os 6 restantes dos carimbados entre os 9 pacotes que não deveriam ir por via aérea (porque 10 carimbados menos 4 corretos = 6 incorretos).
O número total de maneiras possíveis de escolher os 10 carimbados (sem restrição) é o número de maneiras de escolher 10 entre 19.
Em linguagem combinatória isso vira a fórmula
P(\text{exatamente }4)=\frac{\binom{10}{4}\,\binom{9}{6}}{\binom{19}{10}}.
Aqui estou usando a notação \binom{n}{k} que significa “número de maneiras de escolher k objetos dentre n”, ou seja:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 3

Calcular \binom{10}{4}. Usando a fórmula:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}= \frac{5040}{24}=210.

Passo 4

Calcular \binom{9}{6}. Observação prática: \binom{9}{6}=\binom{9}{3}. Então
\binom{9}{6}=\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=\frac{504}{6}=84.

Passo 5

Calcular o numerador:
\binom{10}{4}\,\binom{9}{6}=210\times84=17640.

Passo 6

Calcular o denominador \binom{19}{10}. Conhecendo a combinação:
\binom{19}{10}=\binom{19}{9}=92378.

Passo 7

Agora a probabilidade é a fração
P=\frac{17640}{92378}.
Fazendo a aproximação decimal:
\frac{17640}{92378}\approx0,19096\approx0,191.
Ou seja, cerca de 19{,}1\%.

Resposta

d. 0,191

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