Num ponto A de uma instalação na qual escoa água, o diâmetro da seção reta é de 4 ft , a pressão é de 10 psig e a velocidade é de 4 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. No ponto B , a 6 ft mais alto que no ponto A , o diâmetro da seção reta é de 2 ft e a pressão é de 16,7 psia. Determinar o sentido do escoamento, ou seja, de A para B ou de B para A.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que foi dado):
  • Pergunta: Determinar o sentido do escoamento — se o fluido escoa de A para B ou de B para A.
  • Dados fornecidos: \text{Diâmetro em }A:\; D_A = 4\\ \text{ft}â
\text{Diâmetro em }B:\; D_B = 2\\ \text{ft}â
\text{Pressão em }A:\; p_A = 10\\ \text{psig}ã
\text{Pressão em }B:\; p_B = 16{,}7\\ \text{psia}ã
\text{Velocidade em }A:\; v_A = 4\\ \text{ft/s}
\text{Diferença de altura: } z_B - z_A = 6\\ \text{ft} \quad(\text{B está }6\\ \text{ft acima de A})çá
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • A pressão em A está dada em psig (pressão manométrica). Para usar na equação de energia devemos trabalhar com pressões absolutas consistentes; portanto precisamos converter p_A para psia somando a pressão atmosférica aproximada 14{,}7\\ \text{psi}.
    • Não foi dada perda de carga. Vamos comparar as energias específicas (cabesas) nos pontos para decidir o sentido do escoamento: o fluido tende a ir do ponto com maior energia específica para o com menor energia específica.
  • Tudo acima é o que temos; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Cálculo das áreas das seções e da velocidade em B pela continuidade (aprender a usar a continuidade):
  • Conceito rápido: continuidade para fluido incompressível em regime estacionário diz que a vazão volumétrica é constante, ou seja A_A v_A = A_B v_B, onde A é área e v velocidade média.
  • Área de uma seção circular: A=\pi (D/2)^2. Calculemos: A_A = \pi\left(\frac{D_A}{2}\right)^2 = \pi\left(\frac{4}{2}\right)^2 = \pi(2)^2 = 4\pi\\ \text{ft}^2
A_B = \pi\left(\frac{D_B}{2}\right)^2 = \pi\left(\frac{2}{2}\right)^2 = \pi(1)^2 = \pi\\ \text{ft}^2
  • Relação de velocidades pela continuidade: v_B = v_A \frac{A_A}{A_B} = v_A \frac{4\pi}{\pi} = 4 v_AComo v_A = 4\\ \text{ft/s}, v_B = 4 \times 4 = 16\\ \text{ft/s}.
  • Interpretação: se o fluxo for de A para B, então v_A=4\\ \text{ft/s} e v_B=16\\ \text{ft/s}. (Se o sentido fosse contrário, as velocidades seriam trocadas; a continuidade apenas liga as magnitudes.)

Passo 3

Escolha da equação de energia e explicação didática (Bernoulli em termos de cabeça/energia específica):
  • Para comparar o “potencial” que faz o fluido fluir entre dois pontos, usamos a forma da equação de Bernoulli (energia específica) para fluido incompressível e corrente estacionária, sem considerar acrescentos de energia: \frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constante (ao longo da corrente)}Onde:
    • \displaystyle \frac{p}{\gamma} é a cabeça de pressão (em pés), com p em \text{lb/ft}^2 e \gamma em \text{lb/ft}^3.
    • \displaystyle \frac{v^2}{2g} é a cabeça de velocidade (em pés), com v em \text{ft/s} e g aceleração da gravidade em \text{ft/s}^2.
    • z é a cota (elevação) em pés.
  • Para água usamos os valores: \gamma = 62{,}4\\ \text{lb/ft}^3,\qquad g = 32{,}174\\ \text{ft/s}^2.
  • Estratégia prática: calcular a energia específica (cabeça total) em A e em B, H = \frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z,e comparar H_A com H_B. O escoamento vai do ponto de maior H para o de menor H (se não houver bombas/adição de energia).

Passo 4

Conversão de pressões para unidades compatíveis e cálculo da cabeça de pressão \displaystyle \frac{p}{\gamma}:
  • Primeiro converter p_A de psig para psia: p_A\\ (\text{psia}) = 10\\ \text{psig} + 14{,}7\\ \text{psi} = 24{,}7\\ \text{psia}.
  • Converter psi ( \text{lb/in}^2) para \text{lb/ft}^2: 1\\ \text{psi} = 144\\ \text{lb/ft}^2. p_A = 24{,}7 \times 144\\ \text{lb/ft}^2,\qquad p_B = 16{,}7 \times 144\\ \text{lb/ft}^2.
  • Agora a cabeça de pressão: \frac{p_A}{\gamma} = \frac{24{,}7\times144}{62{,}4}\\ \text{ft}
\frac{p_B}{\gamma} = \frac{16{,}7\times144}{62{,}4}\\ \text{ft}
Calculemos numericamente (fazer contas passo a passo):
\frac{144}{62{,}4}\approx 2{,}3076923077
\frac{p_A}{\gamma} \approx 24{,}7 \times 2{,}3076923077 \approx 57{,}0\\ \text{ft}
\frac{p_B}{\gamma} \approx 16{,}7 \times 2{,}3076923077 \approx 38{,}538461538\\ \text{ft}

Passo 5

Cálculo das cabeças de velocidade \displaystyle \frac{v^2}{2g}:
  • Fórmula da cabeça de velocidade: \displaystyle \frac{v^2}{2g}. Calculemos para A e B: \frac{v_A^2}{2g} = \frac{(4)^2}{2\times 32{,}174} = \frac{16}{64{,}348} \approx 0{,}2487\\ \text{ft}
\frac{v_B^2}{2g} = \frac{(16)^2}{2\times 32{,}174} = \frac{256}{64{,}348} \approx 3{,}9777\\ \text{ft}
  • Observação didática: apesar de p_A ser maior que p_B, a velocidade em B é bem maior e sua cabeça de velocidade também contribui para a energia total.

Passo 6

Cálculo das cabeças totais H_A e H_B e comparação final:
  • Lembrando as cotas: z_A = 0 (escolha de referência) e z_B = 6\\ \text{ft}.
  • Soma dos termos em cada ponto: H_A = \frac{p_A}{\gamma} + \frac{v_A^2}{2g} + z_A \approx 57{,}0 + 0{,}2487 + 0 = 57{,}2487\\ \text{ft}
H_B = \frac{p_B}{\gamma} + \frac{v_B^2}{2g} + z_B \approx 38{,}5385 + 3{,}9777 + 6 = 48{,}5162\\ \text{ft}
  • Comparação: H_A \approx 57{,}25\\ \text{ft} > H_B \approx 48{,}52\\ \text{ft}.
  • Conclusão física: como a energia específica (cabeça total) é maior em A do que em B, o fluido tende a escoar de A para B (do ponto de maior cabeça para o de menor cabeça), assumindo que não há outras fontes de energia (bombas) ou perdas que invertam esse comportamento.

Resposta

De A para B.

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