Um líquido de massa específica igual a 54,3 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft}^{3} deve escoar através de um duto horizontal de seção circular de 4 in de diâmetro. A vazão do líquido deve ser medida por um medidor venturi, cujo diâmetro da garganta é de 2,5 in. Supondo-se que a vazão máxima esperada na instalação é de 240 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{h} calcular:
a) a máxima diferença de pressão lida no manômetro de tubo em U instalado no venturi;
b) verificar a conveniência de se utilizar como fluido manométrico a água;
c) caso no item b) a água não seja viável, verificar se existem vantagens em se utilizar o mercúrio como fluido manométrico (densidade=13,6).

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dado:
  • massa específica do líquido: \rho_f = 54{,}3\\ \mathrm{lb_m/ft^3}.
  • duto horizontal de seção circular com diâmetro externo (principal): D = 4\\ \mathrm{in}.
  • garganta do venturi: d = 2{,}5\\ \mathrm{in}.
  • vazão mássica máxima: \dot{m} = 240\\ \mathrm{lb_m/h}.
Perguntas:
a) Calcular a máxima diferença de pressão entre entrada e garganta que será lida no manômetro de tubo em U (ou seja, \Delta p = p_1-p_2 máxima esperada).
b) Verificar se é conveniente usar água como fluido manométrico (isto é, calcular a deflexão do manômetro com água e avaliar se é mensurável).
c) Se água não for viável, verificar se há vantagem em usar mercúrio (densidade relativa =13{,}6) — isto é, calcular a deflexão com mercúrio e comparar.
Observações importantes que vou usar sem perguntar nada:
  • Vou assumir escoamento incompressível e desprezar perdas de carga (fórmula clássica de Venturi/Bernoulli).
  • Para o manômetro em U ligado entre os pontos 1 (antes) e 2 (garganta) a relação hidrostática que liga \Delta p e a diferença de coluna \Delta h é
\Delta p = ( \rho_m - \rho_f )\, g\, \Delta h,
onde \rho_m é a densidade do fluido manométrico e g a aceleração da gravidade. Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Como as unidades do enunciado são em sistema inglês, converto tudo para SI (kg, m, s) para cálculos; no fim posso dar números em unidades mais familiares.

Passo 2

Converter os dados para unidades SI (massa e comprimentos) para fazer contas sem dor de cabeça.
Converter densidade do fluido processado \rho_f para \mathrm{kg/m^3}:
\rho_f = 54{,}3\\ \mathrm{lb_m/ft^3}\times\frac{0{,}45359237\\ \mathrm{kg}}{1\\ \mathrm{lb_m}}\times\frac{1}{0{,}028316846592\\ \mathrm{m^3/ft^3}} \approx 869{,}8\\ \mathrm{kg/m^3}.
Converter vazão mássica \dot{m} para \mathrm{kg/s}:
\dot{m} = 240\\ \mathrm{lb_m/h}\times\frac{0{,}45359237\\ \mathrm{kg}}{1\\ \mathrm{lb_m}}\times\frac{1}{3600\\ \mathrm{s/h}} \approx 0{,}0302395\\ \mathrm{kg/s}.
Converter diâmetros para metros:
D = 4\\ \mathrm{in} = 4\times0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}1016\\ \mathrm{m},
d = 2{,}5\\ \mathrm{in} = 2{,}5\times0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}0635\\ \mathrm{m}.
(Feito: agora tenho \rho_f, \dot{m}, D e d em SI.)

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica \,Q e as áreas das seções; usar a equação de continuidade Q=A\,v.
Área da seção maior:
A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}1016)^2}{4}\approx 0{,}008107\\ \mathrm{m^2}.
Área da garganta:
A_2 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi(0{,}0635)^2}{4}\approx 0{,}003167\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
Q=\frac{\dot{m}}{\rho_f}=\frac{0{,}0302395}{869{,}8}\approx 3{,}476\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular as velocidades média nas duas seções usando v=Q/A.
Velocidade na seção maior:
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{3{,}476\times10^{-5}}{0{,}008107}\approx 0{,}00429\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade na garganta:
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{3{,}476\times10^{-5}}{0{,}003167}\approx 0{,}01098\\ \mathrm{m/s}.
Comentário pedagógico rápido: a continuidade diz que, para escoamento incomp., produto área×velocidade é constante. Como a garganta é menor, a velocidade lá é maior — mas note que as velocidades aqui são muito pequenas porque a vazão mássica informada é muito baixa (apenas \sim0{,}03\\ \mathrm{kg/s}).

Passo 5

Aplicar Bernoulli entre o ponto 1 (antes) e 2 (garganta) para obter a diferença de pressão dinâmica (desprezando elevação, já que é horizontal, e perdas):
A forma útil é a diferença de pressão dada pelo termo cinético:
\Delta p = p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\,\rho_f\left(v_2^2 - v_1^2\right).
Aqui \rho_f é a densidade de massa em \mathrm{kg/m^3} e \Delta p fica em Pascal ( \mathrm{N/m^2}).
Calcular:
v_2^2 - v_1^2 \approx (0{,}01098)^2 - (0{,}00429)^2 \approx 1{,}201\times10^{-4} - 1{,}840\times10^{-5} \approx 1{,}021\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
\Delta p = \tfrac{1}{2}\times 869{,}8\times 1{,}021\times10^{-4} \approx 0{,}0444\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: essa é a máxima diferença de pressão entre entrada e garganta para a vazão máxima dada. É um valor extremamente pequeno (ordem de 10^{-2}\ \mathrm{Pa}).

Passo 6

Relacionar \Delta p com a leitura do manômetro em U. Fórmula do manômetro em U, quando as duas conexões estão ao mesmo nível, é:
\Delta p = p_1-p_2 = (\rho_m-\rho_f)\,g\,\Delta h,
onde \rho_m é a densidade do fluido manométrico, \rho_f é a densidade do fluido do duto (já calculada), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e \Delta h é a diferença de alturas de coluna do manômetro que se lê.
Isolando a altura:
\Delta h=\frac{\Delta p}{(\rho_m-\rho_f)g}.
Agora calculo \Delta h para a água e depois para o mercúrio.

Passo 7

Calcular \Delta h para água como fluido manométrico.
Densidade da água (aprox.): \rho_{H_2O}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Diferença de densidades \rho_m-\rho_f = 1000 - 869{,}8 = 130{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
\Delta h_{H_2O}=\frac{0{,}0444}{130{,}2\times 9{,}81} \approx 3{,}47\times10^{-5}\\ \mathrm{m} =0{,}0347\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: uma coluna de água deslocada de cerca de 0{,}035\\ \mathrm{mm} é praticamente imperceptível à vista e impossível de medir com um manômetro de vidro comum — ou seja, não é viável como leitura prática.

Passo 8

Calcular \Delta h para mercúrio como fluido manométrico.
Densidade do mercúrio: \rho_{Hg}=13{,}6\times 1000 = 13\,600\\ \mathrm{kg/m^3}.
Diferença de densidades \rho_{Hg}-\rho_f = 13\,600 - 869{,}8 = 12\,730{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
\Delta h_{Hg}=\frac{0{,}0444}{12\,730{,}2\times 9{,}81} \approx 3{,}56\times10^{-7}\\ \mathrm{m} =0{,}000356\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: a deflexão com mercúrio é ainda menor (duas ordens de grandeza menor que com água), logo também não mensurável e até pior para leitura manual. Mercúrio aqui não traz vantagem — reduz ainda mais o deslocamento.

Passo 9

Interpretação final e recomendações didáticas:
  • A diferença de pressão gerada pelo venturi com a vazão máxima fornecida é extremamente pequena ( \sim 4{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}).
  • Um manômetro de tubo em U com água produziria \Delta h\approx 3{,}47\times10^{-5}\\ \mathrm{m} ( 0{,}0347\\ \mathrm{mm}), leitura impraticável.
  • Usar mercúrio piora a situação em termos de amplitude de leitura ( \Delta h\approx 3{,}56\times10^{-7}\\ \mathrm{m}), então não é vantajoso.
  • Conclusão prática: para medir essa pequena diferença de pressão é melhor usar um transdutor de pressão eletrônico ou um manômetro de capilar/manométrico muito sensível — não um U-tube de visualização com água nem mercúrio.

Resposta

(a) \Delta p_{\max}\approx 0{,}0444\\ \mathrm{Pa}.\n
(b) Com água como fluido manométrico: \Delta h_{H_2O}\approx 3{,}47\times10^{-5}\\ \mathrm{m} ( \approx0{,}0347\\ \mathrm{mm}); não é viável (leitura praticamente impossível).\n
(c) Com mercúrio: \Delta h_{Hg}\approx 3{,}56\times10^{-7}\\ \mathrm{m} ( \approx0{,}000356\\ \mathrm{mm}); nenhuma vantagem — a leitura fica ainda menor, portanto também inviável.

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