Pelo ponto M(1 ; 2 ; 6) da superfície z=2 x^{2}+y^{2} passaram planos paralelos aos planos de coordenadas X O Z e Y O Z. Determinar que ângulos formam com os eixos das coordenadas as tangentes às seções, assim obtidas, em seu ponto comum M.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = 2x^{2} + y^{2}
e o ponto M(1,2,6) sobre ela. Precisamos intersectar essa superfície com planos paralelos a XOZ (isto é, y=2) e a YOZ (isto é, x=1), obter as curvas resultantes e, em M, achar os vetores tangentes a essas curvas. Em seguida, usando cossenos diretores, calculamos os ângulos que esses vetores formam com os eixos X, Y e Z.

Passo 2

Interseção com o plano y=2. Nesse plano, a seção é dada por
z = 2x^{2} + 2^{2} = 2x^{2} + 4,
que podemos parametrizar por x:
\mathbf{r}_{1}(x) = \bigl(x,\;2,\;2x^{2}+4\bigr).
O vetor tangente é a derivada em relação a x:
\mathbf{r}_{1}'(x) = \bigl(1,\;0,\;4x\bigr).
Em M x=1 temos
\mathbf{v}_{1} = \mathbf{r}_{1}'(1) = (1,\;0,\;4).

Passo 3

Para achar os ângulos, usamos os cossenos diretores. Seja \mathbf{e}_{x}=(1,0,0), \mathbf{e}_{y}=(0,1,0), \mathbf{e}_{z}=(0,0,1) e \|\mathbf{v}_{1}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}. Então:
\cos\alpha_{x}^{(1)} = \frac{\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{e}_{x}}{\|\mathbf{v}_{1}\|} = \frac{1}{\sqrt{17}}, \quad \cos\alpha_{y}^{(1)} = \frac{\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{e}_{y}}{\|\mathbf{v}_{1}\|} = 0, \quad \cos\alpha_{z}^{(1)} = \frac{\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{e}_{z}}{\|\mathbf{v}_{1}\|} = \frac{4}{\sqrt{17}}.
Logo os ângulos são
\alpha_{x}^{(1)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}}\Bigr),\quad \alpha_{y}^{(1)} = 90^\circ,\quad \alpha_{z}^{(1)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).

Passo 4

Interseção com o plano x=1. Nesse plano, a seção é
z = 2\cdot1^{2} + y^{2} = 2 + y^{2},
parametrizada por y:
\mathbf{r}_{2}(y) = \bigl(1,\;y,\;2+y^{2}\bigr).
O vetor tangente é
\mathbf{r}_{2}'(y) = (0,\;1,\;2y),
e em M y=2 obtemos
\mathbf{v}_{2} = (0,\;1,\;4), \quad \|\mathbf{v}_{2}\| = \sqrt{0^{2}+1^{2}+4^{2}} = \sqrt{17}.

Passo 5

Calculamos os cossenos diretores para \mathbf{v}_{2}:
\cos\alpha_{x}^{(2)} = 0, \quad \cos\alpha_{y}^{(2)} = \frac{1}{\sqrt{17}}, \quad \cos\alpha_{z}^{(2)} = \frac{4}{\sqrt{17}}.
Logo os ângulos são
\alpha_{x}^{(2)} = 90^\circ,\quad \alpha_{y}^{(2)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}}\Bigr),\quad \alpha_{z}^{(2)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).

Resposta

Para a seção em y=2 (vetor \mathbf{v}_{1}):
\alpha_{x}^{(1)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}}\Bigr),\quad \alpha_{y}^{(1)} = 90^\circ,\quad \alpha_{z}^{(1)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).
Para a seção em x=1 (vetor \mathbf{v}_{2}):
\alpha_{x}^{(2)} = 90^\circ,\quad \alpha_{y}^{(2)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}}\Bigr),\quad \alpha_{z}^{(2)} = \operatorname{arccos}\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).

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