( 0,4 ponto) A posição de uma massa de 50 g , em oscilação, é determinada pela relação x(t)=(2,0 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}\left(10 t+\frac{\pi}{4}\right), onde t está em s. Determine:
a) A amplitude; b) O período; c) A constante elástica; d) O valor máximo da velocidade; e) O valor máximo da aceleração; f) A energia total

Passo 1

O enunciado nos dá uma massa m=50~\mathrm{g} oscilando segundo
x(t) = (2,0~\mathrm{cm}) \sin\!\Bigl(10\,t + \tfrac{\pi}{4}\Bigr),
o que caracteriza um movimento harmônico simples (MHS) com amplitude A, pulsação \omega e fase inicial \varphi. Pedem:
a) amplitude;
b) período;
c) constante elástica da mola ( k);
d) velocidade máxima;
e) aceleração máxima;
f) energia mecânica total.

Passo 2

Para extrair a amplitude basta olhar o fator à frente do seno. Temos
A = 2,0~\mathrm{cm} = 0,02~\mathrm{m}.
No MHS, A é o valor máximo de x(t).

Passo 3

A pulsação é o coeficiente de t no argumento do seno, ou seja, \omega = 10~\mathrm{s^{-1}}. O período T relaciona-se a \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\approx 0,628~\mathrm{s}.

Passo 4

A constante elástica de uma mola num MHS satisfaz k = m\,\omega^2. Convertendo a massa para o SI,
m = 50~\mathrm{g} = 0,05~\mathrm{kg},
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k = 0,05\cdot(10)^2 = 0,05\cdot100 = 5,0~\mathrm{N/m}.

Passo 5

A velocidade num MHS é v(t)=A\,\omega\cos(\omega t+\varphi). O valor máximo de \cos é 1, então
v_{\max} = A\,\omega = 0,02\cdot10 = 0,20~\mathrm{m/s}.

Passo 6

A aceleração num MHS é a(t)=-A\,\omega^2\sin(\omega t+\varphi). O módulo máximo ocorre quando o seno vale \pm1, portanto
a_{\max} = A\,\omega^2 = 0,02\cdot100 = 2,0~\mathrm{m/s^2}.

Passo 7

A energia mecânica total é a soma de energia cinética e potencial, constante e igual a
E = \tfrac12\,k\,A^2 = \tfrac12\cdot5,0\cdot(0,02)^2 = 2,5\cdot0,0004 = 0,0010~\mathrm{J}.

Resposta

a) A=0,02~\mathrm{m}.
b) T=\dfrac{\pi}{5}\approx0,628~\mathrm{s}.
c) k=5,0~\mathrm{N/m}.
d) v_{\max}=0,20~\mathrm{m/s}.
e) a_{\max}=2,0~\mathrm{m/s^2}.
f) E=1,0\times10^{-3}~\mathrm{J}.

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