( 1,0 ponto) Questão 2 - A vida média de um pion é 2,6 \times 10^{-8} s quando em repouso. Em um experimento de laboratório observou-se que um píon em movimento tem vida média de 10^{-7} \mathrm{~s}. Qual a velocidade do pion em relação ao laboratório?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente para a gente não se perder):
  • Vida média do píon em repouso: \tau_0 = 2,6\times 10^{-8}\\ \mathrm{s}.
  • Vida média observada no laboratório (quando o píon está em movimento): \tau = 1{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta: qual é a velocidade do píon em relação ao laboratório? Ou seja, encontrar v (e normalmente expressar em termos de c e em \mathrm{m/s}).

Passo 2

Conceito que vamos usar (a aula rápida e prática): partículas em movimento têm o tempo dilatado segundo a Relatividade Restrita — isso significa que o tempo próprio (o tempo medido no referencial da partícula, aqui \tau_0) e o tempo medido por um observador que vê a partícula em movimento (aqui \tau) se relacionam por um fator \gamma (o fator de Lorentz).
A fórmula é:
\tau = \gamma\,\tau_0.
Explicando cada símbolo:
  • \tau é a vida média medida no laboratório (tempo dilatado).
  • \tau_0 é a vida média em repouso (tempo próprio da partícula).
  • \gamma é o fator de Lorentz, definido por \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • v é a velocidade da partícula relativa ao laboratório (o que queremos).
  • c é a velocidade da luz no vácuo; usaremos c=3,00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s} (valor prático usual).

Passo 3

Primeiro vamos obter \gamma a partir das vidas médias conhecidas usando \tau=\gamma\,\tau_0. Então
\gamma=\frac{\tau}{\tau_0}.
Substituindo os valores dados:
\gamma=\frac{1{,}0\times 10^{-7}}{2{,}6\times 10^{-8}}.
Fazendo a divisão de potências de dez e reduzindo a fração:
\gamma=\frac{1{,}0}{2{,}6}\times 10^{(-7)-(-8)}=\frac{1{,}0}{2{,}6}\times 10^{1}=\frac{10}{2{,}6}=\frac{100}{26}=\frac{50}{13}.
Como decimal,
\gamma=\frac{50}{13}\approx 3{,}8461538.
(Guarde esse valor; é o fator que mostra quanto o tempo do píon “estica” visto do laboratório.)

Passo 4

Agora isolamos v a partir da definição de \gamma:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}
Isso implica
\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{1}{\gamma}.
Elevando ao quadrado e rearranjando:
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{\gamma^{2}}
\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{\gamma^{2}}
Finalmente,
v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar com o \gamma obtido.

Passo 5

Calcular 1/\gamma^{2} usando a fração exata obtida ( \gamma=\tfrac{50}{13}):
\gamma^{2}=\left(\frac{50}{13}\right)^{2}=\frac{2500}{169}.
Portanto
\frac{1}{\gamma^{2}}=\frac{169}{2500}=0{,}0676\\ \text{(aprox.)}.
Então
1-\frac{1}{\gamma^{2}}=1-0{,}0676=0{,}9324.

Passo 6

Agora extraímos a raiz quadrada para obter v/c:
\frac{v}{c}=\sqrt{0{,}9324}.
Para estimar a raiz: 0{,}9324=\dfrac{2331}{2500}, então
\frac{v}{c}=\frac{\sqrt{2331}}{50}.
Sabendo que 48^{2}=2304 e 49^{2}=2401, a raiz de 2331 fica um pouco acima de 48. Aproximação por incremento linear:
\sqrt{2331}\approx 48 + \frac{2331-2304}{2\cdot 48}=48+\frac{27}{96}\approx 48{,}28125.
Logo
\frac{v}{c}\approx\frac{48{,}28125}{50}\approx 0{,}965625\approx 0{,}966.

Passo 7

Converter para metros por segundo usando c=3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
v\approx 0{,}965625\times 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}90\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo: o píon está se movendo muito rápido, cerca de 96{,}6\% da velocidade da luz — típico em experimentos de partículas. Boa! Você conseguiu seguir a dedução passo a passo; na prova faça exatamente essa sequência: calcular \gamma por \tau/\tau_0 e então usar v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}.

Resposta

v\approx 0{,}966\,c \approx 2{,}90\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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