08 Classifique as grandezas p, V, T, U e S em intensivas ou extensivas e justifique cada caso.

Passo 1

O enunciado pede que se classifiquem as grandezas {p}, {V}, {T}, {U} e {S} como intensivas ou extensivas e que se justifique cada classificação.
Informações dadas: somente a lista das cinco grandezas a classificar. Não há números nem figura extra.

Passo 2

O que significam “intensiva” e “extensiva” (teste de escala, explicação intuitiva).
  • Intuitivamente: uma propriedade é intensiva quando não depende do tamanho do sistema (ou da quantidade de matéria) — por exemplo, temperatura: dois copos idênticos em equilíbrio térmico têm a mesma temperatura; juntar os dois copos não dobra a temperatura.
  • Intuitivamente: uma propriedade é extensiva quando cresce proporcionalmente ao tamanho do sistema — por exemplo, massa ou volume: juntar dois copos idênticos dobra a massa e o volume combinados.
  • Teste prático (escala): considere um sistema e forme \lambda cópias idênticas (ou escale a quantidade de matéria por \lambda). Uma propriedade X é extensiva se
X(\lambda\\ \text{sistema})=\lambda\,X(\text{sistema}),
e é intensiva se
X(\lambda\\ \text{sistema})=X(\text{sistema})
para todo \lambda>0. Esse é o critério que vamos aplicar.

Passo 3

Argumento com dois subsistemas idênticos (forma simples e muito usado em provas):
  • Seja cada subsistema com grandezas \;V_0,\;U_0,\;S_0,\;T_0,\;p_0.; Ao juntar os dois (sem trocas de energia com o exterior, só união direta e assumindo equilíbrio interno):
    • Se a grandeza for extensiva, o valor do sistema combinado será 2 vezes o de cada metade: X_{\rm total}=2X_0.
    • Se for intensiva, o valor do sistema combinado será igual ao de cada metade: X_{\rm total}=X_0.
      Esse experimento mental é suficiente para justificar a classificação na maioria dos exercícios.

Passo 4

Classificação de \;V (volume). Justificativa:
  • volume é uma medida de “espaço ocupado”. Se juntar dois recipientes iguais com volumes \;V_0 cada, o volume total é 2V_0. Portanto o volume escala com a quantidade de matéria.
  • Pelo teste de escala,
V(\lambda\\ \text{sistema})=\lambda V(\text{sistema}),
logo \;V é extensiva.

Passo 5

Classificação de \;U (energia interna). Justificativa:
  • Energia interna é soma das energias microscópicas (translacional, rotacional, etc.) de todas as partículas. Se duplicar a quantidade de matéria mantendo as condições locais (mesma temperatura), o total de partículas dobra e a energia interna total dobra.
  • Exemplo concreto (gás ideal monoatômico): \;U=\tfrac{3}{2}nRT. Se n\to\lambda n e T fica o mesmo, então U\to\lambda U. Assim \;U é extensiva.

Passo 6

Classificação de \;S (entropia). Justificativa:
  • Entropia é uma função extensiva quando os subsistemas são independentes e não há correlações fortes: ao juntar dois subsistemas independentes, as contribuições de entropia somam, S_{\rm total}=S_1+S_2.
  • Em termos estatísticos, se os espaços de microestados se combinam por produto, a entropia (logaritmo do número de microestados) é aditiva. Portanto \;S escala com a quantidade de matéria e é extensiva.

Passo 7

Classificação de \;T (temperatura). Justificativa:
  • Temperatura mede o estado térmico local e é a grandeza que se iguala em equilíbrio térmico entre subsistemas. Se pegar dois blocos idênticos em equilíbrio térmico cada um tem temperatura \;T_0; juntando-os (sem troca de calor com o exterior) a temperatura do conjunto permanece \;T_0, não dobra.
  • Pelo teste de escala,
T(\lambda\\ \text{sistema})=T(\text{sistema}),
logo \;T é intensiva.

Passo 8

Classificação de \;p (pressão). Justificativa:
  • Pressão é a força por unidade de área exercida pelas partículas sobre a parede; é uma propriedade local que se iguala em equilíbrio mecânico (pressão interna uniforme em um fluido em equilíbrio). Juntando dois sistemas idênticos em equilíbrio a pressão não dobra, permanece igual.
  • Exemplo com gás ideal: comece de \;pV=nRT. Se n\to\lambda n e V\to\lambda V mantendo T igual, então
p'=\frac{\lambda n R T}{\lambda V}=p,
mostrando explicitamente que p não depende do tamanho do sistema e é intensiva.

Passo 9

Observações finais e exceções práticas (o que costuma cair em prova e o que prestar atenção):
  • Muitas grandezas extensivas têm “versões” intensivas: por exemplo, massa m é extensiva, mas densidade \rho=m/V é intensiva; energia interna U é extensiva, mas energia interna molar (U/n) ou específica (U/m) é intensiva. Em provas, cuidado com termos “molar” ou “específica” — eles mudam a natureza da grandeza.
  • Em situações fora do equilíbrio ou para sistemas muito pequenos (nanossistemas) algumas noções podem precisar de cuidado, mas para exercícios de termodinâmica clássica a classificação acima vale.
  • Resumo mental rápido para a prova: “se somar duas cópias idênticas a grandeza dobra = extensiva; se ficar igual = intensiva”.

Resposta

p: intensiva
V: extensiva
T: intensiva
U: extensiva
S: extensiva

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