( 0,4 ponto) Um rolamento esférico de aço tem diâmetro de 2,540 \mathrm{~cm} a 25,00^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual é seu diâmetro quando sua temperatura é elevada para 100,0^{\circ} \mathrm{C} ? b) Que variação de temperatura é necessária para aumentar seu volume em 1 \% ?

Passo 1

O enunciado dá o diâmetro inicial de uma esfera de aço a 25,00^\circ\mathrm{C}, D_{25}=2,540\,\mathrm{cm}, e pede:
a) o diâmetro a 100,0^\circ\mathrm{C};
b) a variação de temperatura que faz o volume crescer 1\%.
Vamos usar as fórmulas de dilatação térmica linear e volumétrica, sabendo que o coeficiente de dilatação linear do aço é \alpha\approx1,1\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e que o coeficiente volumétrico é \beta=3\alpha.

Passo 2

Para a parte (a), a dilatação linear dá
D(T)=D_{0}\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr].
Aqui T_{0}=25,00^\circ\mathrm{C}, T=100,0^\circ\mathrm{C}, logo
\Delta T =100,0-25,00=75,00\;^\circ\mathrm{C}.
Substituindo,
D_{100} =2,540\;\bigl[1+(1,1\times10^{-5})\times75,00\bigr]\;\mathrm{cm}.

Passo 3

Calculando o fator de dilatação:
1+(1,1\times10^{-5})\times75,00 =1+8,25\times10^{-4} =1,000825.
Logo
D_{100} =2,540\times1,000825 \approx2,5421\;\mathrm{cm}.
Arredondando a mesma precisão de entrada ( 4 algarismos),
D_{100}\approx2,542\;\mathrm{cm}.

Passo 4

Para a parte (b), o aumento relativo de volume é
\frac{\Delta V}{V}=\beta\,\Delta T =3\alpha\,\Delta T.
Queremos \Delta V/V=0,01, então
0,01=3\,(1,1\times10^{-5})\,\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \Delta T=\frac{0,01}{3,3\times10^{-5}} \approx303\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) D_{100}\approx2,542\;\mathrm{cm}.
b) \Delta T\approx3,03\times10^{2}\;^\circ\mathrm{C}.

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