(1 ponto) Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de média 25 e variância 59. Qual o valor de E(X-8)^{2} ?
(a) 561
(b) 489
(c) -702
(d) 289

Passo 1

O enunciado dá: X é uma variável aleatória com distribuição normal de média 25 e variância 59. Pede-se o valor de E(X-8)^{2}. As alternativas são:
(a) 561
(b) 489
(c) -702
(d) 289

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer uma ambiguidade de notação importante — e aprender a diferença entre duas expressões que parecem muito parecidas:
  • A expressão E\bigl[(X-8)^{2}\bigr] significa "a esperança do quadrado de X-8" (esperança do quadrado da diferença).
  • A expressão \bigl(E[X-8]\bigr)^{2} significa "o quadrado da esperança de X-8".
As duas são, em geral, diferentes. Vou calcular ambas para ver qual coincide com as alternativas do teste.

Passo 3

Calcular \bigl(E[X-8]\bigr)^{2}.
  1. Regra útil: a esperança é linear, isto é,
E[aX+b]=a\,E[X]+b
para constantes a,b. Aqui a=1 e b=-8, então
E[X-8]=E[X]-8.
  1. Como o enunciado dá E[X]=25, temos
E[X-8]=25-8=17.
  1. Agora elevamos ao quadrado:
\bigl(E[X-8]\bigr)^{2}=17^{2}=289.
Portanto, se a intenção fosse \bigl(E[X-8]\bigr)^{2}, o valor seria 289, que é a alternativa (d).

Passo 4

Calcular E\bigl[(X-8)^{2}\bigr] (a outra interpretação, mais comum em problemas de variância).
  1. Desenvolvemos o quadrado e usamos propriedades da esperança:
E\bigl[(X-8)^{2}\bigr]=E[X^{2}-16X+64]=E[X^{2}]-16E[X]+64.
  1. Usamos a definição de variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}.
Assim,
E[X^{2}]=\operatorname{Var}(X)+\bigl(E[X]\bigr)^{2}.
  1. Substituindo em E\bigl[(X-8)^{2}\bigr]:
E\bigl[(X-8)^{2}\bigr]=\operatorname{Var}(X)+\bigl(E[X]\bigr)^{2}-16E[X]+64.
Agrupando termos:
E\bigl[(X-8)^{2}\bigr]=\operatorname{Var}(X)+\bigl(E[X]-8\bigr)^{2}.
Esta é uma fórmula muito útil: a esperança do quadrado da diferença a um ponto a é a variância mais o quadrado do deslocamento da média.
  1. Agora substituímos os valores dados: \operatorname{Var}(X)=59 e E[X]=25, logo E[X]-8=17. Então
E\bigl[(X-8)^{2}\bigr]=59+17^{2}=59+289=348.
Portanto, se a intenção fosse E\bigl[(X-8)^{2}\bigr], o valor seria 348.

Passo 5

Comparação com as alternativas:
  • Calculamos \bigl(E[X-8]\bigr)^{2}=289, que corresponde à alternativa (d).
  • Calculamos E\bigl[(X-8)^{2}\bigr]=348, que não aparece entre as alternativas.
  • Alternativa (c) -702 é impossível para uma esperança de quadrado (pois quadrados são não-negativos). As outras alternativas (a) e (b) não coincidem com os valores corretos que obtivemos.
Dado que a única alternativa que bate com algum cálculo correto é 289, concluímos que a intenção da questão, conforme as opções fornecidas, foi provavelmente a de calcular \bigl(E[X-8]\bigr)^{2}.

Resposta

(d) 289

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