(1 ponto) Seja
uma variável aleatória com distribuição normal de média 25 e variância 59. Qual o valor de
?
(a) 561
(b) 489
(c) -702
(d) 289
(a) 561
(b) 489
(c) -702
(d) 289
Passo 1
O enunciado dá:
é uma variável aleatória com distribuição normal de média
e variância
. Pede-se o valor de
. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer uma ambiguidade de notação importante — e aprender a diferença entre duas expressões que parecem muito parecidas:
- A expressão
significa "a esperança do quadrado de " (esperança do quadrado da diferença). - A expressão
significa "o quadrado da esperança de ".
As duas são, em geral, diferentes. Vou calcular ambas para ver qual coincide com as alternativas do teste.
Passo 3
Calcular
.
- Regra útil: a esperança é linear, isto é,
para constantes
. Aqui
e
, então
- Como o enunciado dá
, temos
- Agora elevamos ao quadrado:
Portanto, se a intenção fosse
, o valor seria
, que é a alternativa (d).
Passo 4
Calcular
(a outra interpretação, mais comum em problemas de variância).
- Desenvolvemos o quadrado e usamos propriedades da esperança:
- Usamos a definição de variância:
Assim,
- Substituindo em
:
Agrupando termos:
Esta é uma fórmula muito útil: a esperança do quadrado da diferença a um ponto
é a variância mais o quadrado do deslocamento da média.
- Agora substituímos os valores dados:
e , logo . Então
Portanto, se a intenção fosse
, o valor seria
.
Passo 5
Comparação com as alternativas:
- Calculamos
, que corresponde à alternativa (d). - Calculamos
, que não aparece entre as alternativas. - Alternativa (c)
é impossível para uma esperança de quadrado (pois quadrados são não-negativos). As outras alternativas (a) e (b) não coincidem com os valores corretos que obtivemos.
Dado que a única alternativa que bate com algum cálculo correto é
, concluímos que a intenção da questão, conforme as opções fornecidas, foi provavelmente a de calcular
.
Resposta
(d)