(1 ponto) Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0.89 . Nesse contexto, qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 88 componentes estejam funcionando? (Não utilizar correção de continuidade na aproximação da distribuição Binomial pela distribuição Normal.)
(a) 0.415
(b) 0.504
(c) 0.374
(d) 0.540
(e) 0.626
(a) 0.415
(b) 0.504
(c) 0.374
(d) 0.540
(e) 0.626
Passo 1
O enunciado pede: “qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 88 componentes estejam funcionando?” Temos as seguintes informações fornecidas pelo enunciado:
(número de componentes),
(confiabilidade de cada componente, ou seja, probabilidade de funcionar). A quantidade aleatória de componentes funcionando será denotada por
. A pergunta é obter
. Não usar correção de continuidade na aproximação binomial → normal.
Passo 2
Definição e fórmula exata (mas não prática aqui):
segue a distribuição Binomial com parâmetros
e
. A probabilidade exata seria
Cada símbolo significa:
= número de formas de escolher
componentes que funcionam;
= probabilidade desses
funcionarem;
= probabilidade dos outros não funcionarem. Essa soma é exata, mas computacionalmente trabalhosa sem software.
Passo 3
Motivação da aproximação Normal (explicação didática): quando
é grande e
não é extremo (nem muito perto de
nem muito perto de
), a distribuição Binomial pode ser aproximada pela distribuição Normal pelo Teorema do Limite Central. Isso significa que em vez de somar muitos termos, podemos aproximar
por uma variável contínua
com distribuição Normal
, onde
e
são a média e a variância da binomial (explico como calcular no próximo passo). O enunciado instrui explicitamente a NÃO usar correção de continuidade, então não faremos o ajuste de
.
Passo 4
Cálculo da média e variância da Binomial (fórmulas e significado):
A média da binomial é
A média da binomial é
A variância é
Substituindo os valores dados (
,
):
A raiz da variância (desvio-padrão) é
Interpretação: em média esperamos
componentes funcionando; a variação típica em torno dessa média é cerca de
componentes.
Passo 5
Aplicando a aproximação Normal sem correção de continuidade (explicando a escolha):
Aproximamos por
. Queremos
. Sem correção de continuidade, usamos diretamente o ponto
no contínuo:
Aproximamos
(Não usamos
nem
porque o enunciado proibiu a correção de continuidade.)
Passo 6
Padronização para a Normal Padrão (passo a passo e interpretação):
Se é a Normal padrão
, então
Se
Calculemos a razão:
Logo
Passo 7
Uso da simetria da Normal e tabela (cálculo final):
A função de distribuição acumulada da Normal padrão é . Usando simetria,
A função de distribuição acumulada da Normal padrão é
Consultando tabela da Normal padrão (ou valor conhecido):
. Para
obtemos aproximadamente
. Arredondando a três casas decimais:
Passo 8
Conclusão e verificação com as alternativas:
A probabilidade aproximada corresponde à alternativa (e). (Só para referência rápida: se tivéssemos usado correção de continuidade com
o resultado seria um pouco diferente; mas o enunciado pediu explicitamente para NÃO usar correção.)
A probabilidade aproximada
Resposta
(e) 0,626