(1 ponto) Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0.89 . Nesse contexto, qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 88 componentes estejam funcionando? (Não utilizar correção de continuidade na aproximação da distribuição Binomial pela distribuição Normal.)
(a) 0.415
(b) 0.504
(c) 0.374
(d) 0.540
(e) 0.626

Passo 1

O enunciado pede: “qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 88 componentes estejam funcionando?” Temos as seguintes informações fornecidas pelo enunciado:
\;n=100 (número de componentes), \;p=0,89 (confiabilidade de cada componente, ou seja, probabilidade de funcionar). A quantidade aleatória de componentes funcionando será denotada por X. A pergunta é obter \mathbb{P}(X \ge 88). Não usar correção de continuidade na aproximação binomial → normal.

Passo 2

Definição e fórmula exata (mas não prática aqui): X segue a distribuição Binomial com parâmetros n e p. A probabilidade exata seria
\mathbb{P}(X\ge 88)=\sum_{k=88}^{100} \binom{100}{k} p^{k} (1-p)^{100-k}.
Cada símbolo significa: \binom{100}{k} = número de formas de escolher k componentes que funcionam; p^{k} = probabilidade desses k funcionarem; (1-p)^{100-k} = probabilidade dos outros não funcionarem. Essa soma é exata, mas computacionalmente trabalhosa sem software.

Passo 3

Motivação da aproximação Normal (explicação didática): quando n é grande e p não é extremo (nem muito perto de 0 nem muito perto de 1), a distribuição Binomial pode ser aproximada pela distribuição Normal pelo Teorema do Limite Central. Isso significa que em vez de somar muitos termos, podemos aproximar X por uma variável contínua Y com distribuição Normal N(\mu,\sigma^{2}), onde \mu e \sigma^{2} são a média e a variância da binomial (explico como calcular no próximo passo). O enunciado instrui explicitamente a NÃO usar correção de continuidade, então não faremos o ajuste de \pm 0,5.

Passo 4

Cálculo da média e variância da Binomial (fórmulas e significado):
A média da binomial é
\mu = \mathbb{E}[X] = n p.
A variância é
\sigma^{2} = \mathrm{Var}(X) = n p (1-p).
Substituindo os valores dados ( n=100, p=0,89):
\mu = 100 \times 0,89 = 89,
\sigma^{2} = 100 \times 0,89 \times 0,11 = 9,79.
A raiz da variância (desvio-padrão) é
\sigma = \sqrt{9,79}\approx 3,129.
Interpretação: em média esperamos 89 componentes funcionando; a variação típica em torno dessa média é cerca de 3,13 componentes.

Passo 5

Aplicando a aproximação Normal sem correção de continuidade (explicando a escolha):
Aproximamos X por Y\sim N(\mu,\sigma^{2}). Queremos \mathbb{P}(X\ge 88). Sem correção de continuidade, usamos diretamente o ponto 88 no contínuo:
\mathbb{P}(X\ge 88)\approx \mathbb{P}(Y\ge 88).
(Não usamos 87,5 nem 88,5 porque o enunciado proibiu a correção de continuidade.)

Passo 6

Padronização para a Normal Padrão (passo a passo e interpretação):
Se Z é a Normal padrão N(0,1), então
\mathbb{P}(Y\ge 88)=\mathbb{P}\!\left(\frac{Y-\mu}{\sigma}\ge \frac{88-\mu}{\sigma}\right)=\mathbb{P}\!\left(Z \ge \frac{88-89}{3,129}\right).
Calculemos a razão:
\frac{88-89}{3,129}=\frac{-1}{3,129}\approx -0,3196.
Logo
\mathbb{P}(Y\ge 88)=\mathbb{P}(Z\ge -0,3196).

Passo 7

Uso da simetria da Normal e tabela (cálculo final):
A função de distribuição acumulada da Normal padrão é \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Usando simetria,
\mathbb{P}(Z\ge -0,3196)=1-\Phi(-0,3196)=\Phi(0,3196).
Consultando tabela da Normal padrão (ou valor conhecido): \Phi(0,32)\approx 0,6255. Para 0,3196 obtemos aproximadamente 0,6256. Arredondando a três casas decimais:
\mathbb{P}(X\ge 88)\approx 0,626.

Passo 8

Conclusão e verificação com as alternativas:
A probabilidade aproximada 0,626 corresponde à alternativa (e). (Só para referência rápida: se tivéssemos usado correção de continuidade com 87,5 o resultado seria um pouco diferente; mas o enunciado pediu explicitamente para NÃO usar correção.)

Resposta

(e) 0,626

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