Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado
. Seja
a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
(a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável
.
(b) Calcular
e
.
R. (a)
(a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável
(b) Calcular
R. (a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com um ponto escolhido uniformemente no interior de um triângulo equilátero de lado
cm, com a base fixada:
- (a) Determinar a função distribuição acumulada (f.d.a.)
e a densidade de probabilidade (d.f.p.) da variável aleatória , que é a distância do ponto à base. - (b) Calcular
e .
Informações dadas e implicadas pelo enunciado:
o ponto é escolhido uniformemente no interior do triângulo (probabilidade proporcional à área), e
mede a distância vertical desde a base até o ponto; portanto
onde
é a altura do triângulo (a ser calculada).
Passo 2
Calcular a altura
do triângulo equilátero e a área total
.
A fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado
é
Substituindo
,
A área do triângulo é
Substituindo
e
,
Passo 3
Raciocínio geométrico para obter a densidade
.
Considere uma faixa horizontal no triângulo entre alturas
e
(distância medida a partir da base). A probabilidade de o ponto cair nessa faixa é proporcional à área dessa faixa. A área da faixa é o comprimento da intersecção horizontal do triângulo nessa altura, denotado
, multiplicado por
:
Pela semelhança de triângulos, o comprimento da seção horizontal varia linearmente entre
(na base) e
(no vértice). Logo
(Isto vem de comparar triângulos: a razão entre o comprimento da seção em altura
e o comprimento da base é igual à razão entre as alturas restantes.)
Passo 4
Expressar a densidade
usando a área total.
A probabilidade de o ponto cair entre
e
é
Pelo conceito de densidade para variável contínua,
Substituindo
e
,
Agora substituir
:
Podemos expandir/simplificar essa expressão. Desenvolvendo,
Outra forma equivalente (mais compacta) é obter
como derivada da f.d.a. que veremos no próximo passo:
Para
e
temos
.
Passo 5
Calcular a função distribuição acumulada
integrando
.
Para
,
Calcule a integral passo a passo:
Subtraindo,
Simplificando a primeira parcela para colocar num denominador comum:
portanto
Complementando os valores fora do intervalo:
Passo 6
Calcular
. Relembrando a definição de esperança para variável contínua:
Usando a forma geral
que encontramos antes (ou a forma
), vamos integrar de forma simbólica: com
,
Calcule as integrais:
Logo
Substituindo
,
Passo 7
Calcular
através de
.
Primeiro
:
Calcule as primitivas:
Portanto
Agora a variância:
Substituindo
,
Resposta
(a)
(b)