Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 \mathrm{~cm}. Seja X= a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
(a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável X.
(b) Calcular E(X) e V(X).
R. (a)
F(x)=0, x \leq 0, F(x)=(6 \sqrt{3}-x) x / 27,0<x<3 \sqrt{3}, F(x)=1, x \geq 3 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com um ponto escolhido uniformemente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 cm, com a base fixada:
  • (a) Determinar a função distribuição acumulada (f.d.a.) F(x) e a densidade de probabilidade (d.f.p.) f(x) da variável aleatória X, que é a distância do ponto à base.
  • (b) Calcular E(X) e V(X).
Informações dadas e implicadas pelo enunciado:
L=6\\ \text{cm},
o ponto é escolhido uniformemente no interior do triângulo (probabilidade proporcional à área), e X mede a distância vertical desde a base até o ponto; portanto
0\le X\le h,
onde h é a altura do triângulo (a ser calculada).

Passo 2

Calcular a altura h do triângulo equilátero e a área total A.
A fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado L é
h=\frac{\sqrt{3}}{2}L.
Substituindo L=6,
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=3\sqrt{3}\\ \text{cm}.
A área do triângulo é
A=\frac{L\cdot h}{2}.
Substituindo L=6 e h=3\sqrt{3},
A=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 3

Raciocínio geométrico para obter a densidade f(x).
Considere uma faixa horizontal no triângulo entre alturas x e x+dx (distância medida a partir da base). A probabilidade de o ponto cair nessa faixa é proporcional à área dessa faixa. A área da faixa é o comprimento da intersecção horizontal do triângulo nessa altura, denotado l(x), multiplicado por dx:
\text{área da faixa} = l(x)\,dx.á
Pela semelhança de triângulos, o comprimento da seção horizontal varia linearmente entre l(0)=L (na base) e l(h)=0 (no vértice). Logo
l(x)=L\Big(1-\frac{x}{h}\Big).
(Isto vem de comparar triângulos: a razão entre o comprimento da seção em altura x e o comprimento da base é igual à razão entre as alturas restantes.)

Passo 4

Expressar a densidade f(x) usando a área total.
A probabilidade de o ponto cair entre x e x+dx é
P(x\le X\le x+dx)\approx \frac{l(x)\,dx}{A}.
Pelo conceito de densidade para variável contínua,
f(x)=\frac{l(x)}{A},\quad 0<x<h.
Substituindo l(x)=L\big(1-\frac{x}{h}\big) e A=\frac{Lh}{2},
f(x)=\frac{L\big(1-\frac{x}{h}\big)}{A} =\frac{L\big(1-\frac{x}{h}\big)}{Lh/2} =\frac{2}{h}\Big(1-\frac{x}{h}\Big),\quad 0<x<h.
Agora substituir h=3\sqrt{3}:
f(x)=\frac{2}{3\sqrt{3}}\Big(1-\frac{x}{3\sqrt{3}}\Big),\quad 0<x<3\sqrt{3}.
Podemos expandir/simplificar essa expressão. Desenvolvendo,
f(x)=\frac{2}{3\sqrt{3}}-\frac{2x}{27},\quad 0<x<3\sqrt{3}.
Outra forma equivalente (mais compacta) é obter f como derivada da f.d.a. que veremos no próximo passo:
f(x)=\frac{6\sqrt{3}-2x}{27},\quad 0<x<3\sqrt{3}.
Para x\le 0 e x\ge 3\sqrt{3} temos f(x)=0.

Passo 5

Calcular a função distribuição acumulada F(x) integrando f.
Para 0<x<3\sqrt{3},
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt =\int_{0}^{x}\Big(\frac{2}{3\sqrt{3}}-\frac{2t}{27}\Big)\,dt.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{x}\frac{2}{3\sqrt{3}}\,dt=\frac{2}{3\sqrt{3}}x,
\int_{0}^{x}\frac{2t}{27}\,dt=\frac{2}{27}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{27}.
Subtraindo,
F(x)=\frac{2x}{3\sqrt{3}}-\frac{x^{2}}{27}.
Simplificando a primeira parcela para colocar num denominador comum:
\frac{2x}{3\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}\,x}{27},
portanto
F(x)=\frac{6\sqrt{3}\,x-x^{2}}{27}=\frac{(6\sqrt{3}-x)x}{27},\quad 0<x<3\sqrt{3}.
Complementando os valores fora do intervalo:
F(x)=0,\quad x\le 0,
F(x)=1,\quad x\ge 3\sqrt{3}.

Passo 6

Calcular E(X). Relembrando a definição de esperança para variável contínua:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx=\int_{0}^{h} x f(x)\,dx.
Usando a forma geral f(x)=\dfrac{L}{A}\big(1-\dfrac{x}{h}\big) que encontramos antes (ou a forma \dfrac{2}{h}(1-\frac{x}{h})), vamos integrar de forma simbólica: com f(x)=\dfrac{2}{h}\big(1-\dfrac{x}{h}\big),
E(X)=\int_{0}^{h} x\cdot \frac{2}{h}\Big(1-\frac{x}{h}\Big)\,dx =\frac{2}{h}\int_{0}^{h}\Big(x-\frac{x^{2}}{h}\Big)\,dx.
Calcule as integrais:
\int_{0}^{h} x\,dx=\frac{h^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{h} x^{2}\,dx=\frac{h^{3}}{3}.
Logo
E(X)=\frac{2}{h}\Big(\frac{h^{2}}{2}-\frac{h^{3}}{3h}\Big) =\frac{2}{h}\Big(\frac{h^{2}}{2}-\frac{h^{2}}{3}\Big) =\frac{2}{h}\cdot\frac{h^{2}}{6}=\frac{h}{3}.
Substituindo h=3\sqrt{3},
E(X)=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 7

Calcular V(X) através de V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Primeiro E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{h} x^{2} f(x)\,dx =\frac{2}{h}\int_{0}^{h}\Big(x^{2}-\frac{x^{3}}{h}\Big)\,dx.
Calcule as primitivas:
\int_{0}^{h} x^{2}\,dx=\frac{h^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{h} x^{3}\,dx=\frac{h^{4}}{4}.
Portanto
E(X^{2})=\frac{2}{h}\Big(\frac{h^{3}}{3}-\frac{h^{4}}{4h}\Big) =\frac{2}{h}\Big(\frac{h^{3}}{3}-\frac{h^{3}}{4}\Big) =\frac{2}{h}\cdot\frac{h^{3}}{12}=\frac{h^{2}}{6}.
Agora a variância:
V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{h^{2}}{6}-\Big(\frac{h}{3}\Big)^{2} =\frac{h^{2}}{6}-\frac{h^{2}}{9}=\frac{h^{2}}{18}.
Substituindo h^{2}=(3\sqrt{3})^{2}=27,
V(X)=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}=1{,}5\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

(a) F(x)=0,\quad x\le 0,
F(x)=\frac{(6\sqrt{3}-x)x}{27},\quad 0<x<3\sqrt{3},
F(x)=1,\quad x\ge 3\sqrt{3}.
f(x)=0,\quad x\le 0,
f(x)=\frac{6\sqrt{3}-2x}{27}=\frac{2}{3\sqrt{3}}-\frac{2x}{27},\quad 0<x<3\sqrt{3},
f(x)=0,\quad x\ge 3\sqrt{3}.
(b) E(X)=\sqrt{3}\\ \text{cm},
V(X)=\frac{3}{2}\\ \text{cm}^{2}.

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