Sendo
, determine:
1.
1.
Passo 1
O enunciado dá que
(variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
) e pede o valor de
Vamos listar o que foi pedido e o que foi dado: \n
- Evento condicionado (condição):
. \n - Evento cujo probabilidade condicional queremos:
. \n - Informação sobre a distribuição:
é uniforme em . \n
A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Relembrando a definição útil da distribuição uniforme contínua: se
, a densidade de probabilidade é constante no intervalo
e igual a
. Aqui, como
e
, temos
e
fora desse intervalo. \n
Uma consequência prática é que a probabilidade de cair em qualquer subintervalo
é a área sob a densidade, ou seja o comprimento do intervalo dividido por
:
Uma consequência prática é que a probabilidade de
Passo 3
Apresento a fórmula de probabilidade condicional, que é a ferramenta chave:
onde
e
são eventos com
. \n
No nosso caso, defina e
. Então
. Vamos calcular
e
.
No nosso caso, defina
Passo 4
Cálculo de
. Usando a densidade uniforme:
Interpretação: do total do intervalo
(comprimento
), a parte maior que
tem comprimento
, então a probabilidade é
.
Passo 5
Cálculo de
. Novamente usando a densidade:
Interpretação: o intervalo favorável tem comprimento
, então a probabilidade é
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 7
Intuição rápida: sabendo que
, estamos restritos ao subintervalo
de comprimento
. A parte desse subintervalo que satisfaz
é
, de comprimento
. Logo a probabilidade condicional é
. Dá pra decorar esse raciocínio: para uniformes, probabilidades equivalem a comprimentos relativos.