Sendo X \sim U[0,4], determine:
1.
P(X<2 \mid X>1)

Passo 1

O enunciado dá que X \sim U[0,4] (variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0,4]) e pede o valor de
P(X<2 \mid X>1).
Vamos listar o que foi pedido e o que foi dado: \n
  • Evento condicionado (condição): \{X>1\}. \n
  • Evento cujo probabilidade condicional queremos: \{X<2\}. \n
  • Informação sobre a distribuição: X é uniforme em [0,4]. \n
    A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Relembrando a definição útil da distribuição uniforme contínua: se X\sim U[a,b], a densidade de probabilidade é constante no intervalo [a,b] e igual a \dfrac{1}{b-a}. Aqui, como a=0 e b=4, temos
f_X(x)=\frac{1}{4}\quad\text{para }x\in[0,4],
e f_X(x)=0 fora desse intervalo. \n
Uma consequência prática é que a probabilidade de X cair em qualquer subintervalo [c,d]\subset[0,4] é a área sob a densidade, ou seja o comprimento do intervalo dividido por 4:
P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d} f_X(x)\,dx=\frac{d-c}{4}.

Passo 3

Apresento a fórmula de probabilidade condicional, que é a ferramenta chave:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
onde A e B são eventos com P(B)>0. \n
No nosso caso, defina A=\{X<2\} e B=\{X>1\}. Então A\cap B=\{1<X<2\}. Vamos calcular P(B) e P(A\cap B).

Passo 4

Cálculo de P(B)=P(X>1). Usando a densidade uniforme:
P(X>1)=\int_{1}^{4} f_X(x)\,dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{4}\,dx=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}.
Interpretação: do total do intervalo [0,4] (comprimento 4), a parte maior que 1 tem comprimento 3, então a probabilidade é 3/4.

Passo 5

Cálculo de P(A\cap B)=P(1<X<2). Novamente usando a densidade:
P(1<X<2)=\int_{1}^{2} f_X(x)\,dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}.
Interpretação: o intervalo favorável tem comprimento 1, então a probabilidade é 1/4.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(X<2\mid X>1)=\frac{P(1<X<2)}{P(X>1)}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Intuição rápida: sabendo que X>1, estamos restritos ao subintervalo (1,4] de comprimento 3. A parte desse subintervalo que satisfaz X<2 é (1,2), de comprimento 1. Logo a probabilidade condicional é 1/3. Dá pra decorar esse raciocínio: para uniformes, probabilidades equivalem a comprimentos relativos.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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