(1,5 ponto) Em um trabalho de campo buscando responder ao comportamento mensal das precipitações na região sul de Goiás, selecionou-se 4 estações pluviométricas, com informações monitoradas, como descrito na tabela abaixo. Desta forma, descreva como poderia ser realizado o preenchimento da falha existente na estação " Y ", e realize o preenchimento por um dos métodos por você descrito.
Mês/
Estação
\mathbf{X 1} \mathbf{X 2} \mathbf{X 3} \mathbf{X 4} \mathbf{Y}
\mathbf{1} 176 212 210 230 245
\mathbf{2} 172 190 185 174
\mathbf{3} 195 200 205 210 218
\mathbf{4} 95 121 137 176 183
\mathbf{5} 85 64 80 70 45

Passo 1

O enunciado nos dá as precipitações mensais (provavelmente em mm) medidas em 5 meses por 5 estações. A tabela contém os seguintes valores (cada linha é um mês, cada coluna uma estação):
\begin{array}{c|ccccc} \text{Mês} & X1 & X2 & X3 & X4 & Y\\hline 1 & 176 & 212 & 210 & 230 & 245\\\\ 2 & 172 & 190 & 185 & 174 & \; \; \text{(falta)}\\\\ 3 & 195 & 200 & 205 & 210 & 218\\\\ 4 & 95 & 121 & 137 & 176 & 183\\\\ 5 & 85 & 64 & 80 & 70 & 45 \end{array}ê
O que o exercício pede:
  • Descrever como poderia ser realizado o preenchimento da falta na estação Y para o mês 2.
  • Realizar o preenchimento usando um dos métodos descritos (ou seja, estimar \;Y no mês 2).

Passo 2

Breve descrição de métodos usuais para preencher faltas em séries pluviométricas (visão geral — sem aplicar ainda):
  • Método da média simples: usar a média aritmética das estações vizinhas no mesmo mês.
  • Método da média ponderada: média das estações vizinhas com pesos (por distância, correlação etc.).
  • Método da razão normal (Normal Ratio Method): calcula-se a razão média entre a estação com dados completos ( Y) e a média das estações de referência em períodos em que Y existe; essa razão média é aplicada à média das estações de referência no mês faltante. É apropriado quando as estações têm diferentes magnitudes de precipitação.
  • Método da regressão linear múltipla: ajusta-se um modelo de regressão entre Y e as estações X_i usando os meses com Y e depois prevê o mês faltante.
  • Método da massa dupla e outros métodos hidrológicos mais sofisticados.
Vou escolher e aplicar o Método da Razão Normal porque:
  • É didático, simples de calcular à mão com poucos dados;
  • leva em conta o fato de Y normalmente ter magnitude diferente das estações X_i;
  • é frequente em hidrologia para preenchimento quando há poucas observações.

Passo 3

Explicação detalhada do Método da Razão Normal e fórmulas (com significado de cada termo):
  • Para cada mês m em que Y está disponível, primeiro calcula-se a média das estações de referência X_1,\dots,X_4 naquele mês:
\bar{X}_m=\frac{X_{1,m}+X_{2,m}+X_{3,m}+X_{4,m}}{4}.
Aqui X_{i,m} é a precipitação da estação X_i no mês m; o número 4 é o número de estações de referência.
  • Em seguida calcula-se a razão entre Y e essa média em cada mês com dados:
r_m=\frac{Y_m}{\bar{X}_m}.
  • Calcula-se a razão média (média aritmética das razões) usando os meses em que Y existe:
\bar{r}=\frac{1}{n}\sum_{m=1}^{n} r_m,
onde n é o número de meses com Y observado (aqui n=4, meses 1,3,4,5).
  • Para o mês faltante (mês 2) calcula-se a média das estações X:
\bar{X}_2=\frac{X_{1,2}+X_{2,2}+X_{3,2}+X_{4,2}}{4}.
  • A estimativa de Y no mês 2 é então:
\widehat{Y}_2=\bar{r}\cdot \bar{X}_2.
Justificativa curta: a razão média \bar{r} representa a relação típica entre Y e a média das estações vizinhas. Aplicando-a à média das vizinhas no mês faltante obtemos uma previsão que preserva essa relação típica.

Passo 4

Cálculo de \bar{X}_m e r_m nos meses onde Y está disponível (meses 1, 3, 4 e 5).
Mês 1:
\bar{X}_1=\frac{176+212+210+230}{4}=\frac{828}{4}=207.
r_1=\frac{Y_1}{\bar{X}_1}=\frac{245}{207}\approx 1{,}1836.
Mês 3:
\bar{X}_3=\frac{195+200+205+210}{4}=\frac{810}{4}=202{,}5.
r_3=\frac{Y_3}{\bar{X}_3}=\frac{218}{202{,}5}\approx 1{,}0772.
Mês 4:
\bar{X}_4=\frac{95+121+137+176}{4}=\frac{529}{4}=132{,}25.
r_4=\frac{Y_4}{\bar{X}_4}=\frac{183}{132{,}25}\approx 1{,}3830.
Mês 5:
\bar{X}_5=\frac{85+64+80+70}{4}=\frac{299}{4}=74{,}75.
r_5=\frac{Y_5}{\bar{X}_5}=\frac{45}{74{,}75}\approx 0{,}6027.
Agora a razão média:
\bar{r}=\frac{r_1+r_3+r_4+r_5}{4}\approx\frac{1{,}1836+1{,}0772+1{,}3830+0{,}6027}{4}\approx 1{,}0616.

Passo 5

Cálculo da média das estações X no mês 2 e previsão de Y_2.
Mês 2:
\bar{X}_2=\frac{172+190+185+174}{4}=\frac{721}{4}=180{,}25.
Estimativa de Y no mês 2:
\widehat{Y}_2=\bar{r}\cdot\bar{X}_2\approx 1{,}0616\times 180{,}25\approx 191{,}35.
Interpretação: a estimativa sugere que a precipitação em Y no mês 2 foi aproximadamente 191{,}35 (unidade igual à da tabela, provavelmente mm). Em provas costuma-se arredondar para um inteiro se solicitado, por exemplo para 191 mm.

Passo 6

Comentários finais e recomendações práticas (curtos):
  • O Método da Razão Normal é simples e útil quando as estações têm níveis de precipitação diferentes. Ele assume que a relação entre Y e a média das estações de referência é relativamente estável ao longo do tempo.
  • Se houvesse mais dados históricos, ajustar uma regressão múltipla ou calcular coeficientes de correlação e usar média ponderada por correlação poderia trazer estimativas melhores.
  • Sempre que for possível, depois de preencher faltas, verifique a coerência (por exemplo comparando com séries vizinhas ou usando teste visual) e, se necessário, refine com métodos mais avançados.
  • Força aí nos estudos — dá para fazer isso numa prova se você seguir os passos com calma!

Resposta

\widehat{Y}_2 \approx 191{,}35

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