(1 ponto) Usando a regra de L’Höpital para calcular
obtemos:
(a)
(b) 1
(c) -1
(d) 2
(e) -2
(a)
(b) 1
(c) -1
(d) 2
(e) -2
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
e oferece opções múltipla escolha: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e)
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão do limite é
. - O ponto de aproximação é
. - Avaliando diretamente em
temos e , portanto a forma é indeterminada do tipo .
Passo 2
Vou usar a regra de L’Hôpital. Vamos recapitulá-la claramente (para você saber quando e por que usar):
Regra de L’Hôpital (caso
ou
). Se
e
são funções diferenciáveis em um intervalo ao redor de
(exceto, possivelmente, em
), e
ou ambos
, e se existir o limite
(então) vale
O que cada símbolo significa:
-
é o numerador original; aqui . -
é o denominador original; aqui . -
e são as derivadas de e . -
é o ponto de interesse; aqui .
Condição válida: temos formae são diferenciáveis em torno de , então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Primeira aplicação de L’Hôpital: calculo as derivadas de
e
.
Numerador:
Sabendo que
e que
, podemos reescrever
Denominador:
Pela regra de L’Hôpital,
Antes de prosseguir, verifico a nova forma: ao
temos
e
, ou seja, ainda é
. Então posso aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 4
Segunda aplicação de L’Hôpital: derivo novamente numerador e denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Assim
Agora simplifico a expressão algébrica antes de avaliar o limite. Uso as identidades
e
. Então
Portanto o limite reduz-se a
Como
, obtemos
Passo 5
Para reforçar a confiança (cheque rápido usando séries de Taylor): próximas ordens
Então
e a razão dá
confirmando o resultado obtido com L’Hôpital.
Resposta
(d)