(1 ponto) Usando a regra de L’Höpital para calcular
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}
obtemos:
(a) 6 \sqrt{ } 0 \times
(b) 1
(c) -1
(d) 2
(e) -2

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x},
e oferece opções múltipla escolha: (a) 6 \sqrt{ } 0 \times, (b) 1, (c) -1, (d) 2, (e) -2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão do limite é \dfrac{\tan x - x}{x - \sin x}.
  • O ponto de aproximação é x\to 0.
  • Avaliando diretamente em x=0 temos \tan 0-0=0 e 0-\sin 0=0, portanto a forma é indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Vou usar a regra de L’Hôpital. Vamos recapitulá-la claramente (para você saber quando e por que usar):
Regra de L’Hôpital (caso 0/0 ou \infty/\infty). Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo ao redor de a (exceto, possivelmente, em a), e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambos \pm\infty, e se existir o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L
(então) vale
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.
O que cada símbolo significa:
  • f(x) é o numerador original; aqui f(x)=\tan x - x.
  • g(x) é o denominador original; aqui g(x)=x - \sin x.
  • f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g.
  • a é o ponto de interesse; aqui a=0.
    Condição válida: temos forma 0/0 e f,g são diferenciáveis em torno de 0, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Primeira aplicação de L’Hôpital: calculo as derivadas de f e g.
Numerador:
f(x)=\tan x - x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\operatorname{sec}^2 x - 1.
Sabendo que \operatorname{sec} x = 1/\cos x e que \operatorname{sec}^2 x - 1 = \tan^2 x, podemos reescrever
f'(x)=\tan^2 x.
Denominador:
g(x)=x - \sin x \quad\Rightarrow\quad g'(x)=1 - \cos x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2 x}{1 - \cos x}.
Antes de prosseguir, verifico a nova forma: ao x\to 0 temos \tan^2 x\to 0 e 1-\cos x\to 0, ou seja, ainda é 0/0. Então posso aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 4

Segunda aplicação de L’Hôpital: derivo novamente numerador e denominador.
Derivada do numerador \tan^2 x:
\frac{d}{dx}\big(\tan^2 x\big)=2\tan x\cdot \frac{d}{dx}(\tan x)=2\tan x\cdot \operatorname{sec}^2 x.
Derivada do denominador 1-\cos x:
\frac{d}{dx}(1-\cos x)=\sin x.
Assim
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2 x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{2\tan x\operatorname{sec}^2 x}{\sin x}.
Agora simplifico a expressão algébrica antes de avaliar o limite. Uso as identidades \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}. Então
\frac{2\tan x\operatorname{sec}^2 x}{\sin x} = \frac{2\cdot\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{\sin x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\cos^3 x}.
Portanto o limite reduz-se a
\lim_{x\to 0} \frac{2}{\cos^3 x}.
Como \cos 0 = 1, obtemos
\lim_{x\to 0} \frac{2}{\cos^3 x} = \frac{2}{1^3} = 2.

Passo 5

Para reforçar a confiança (cheque rápido usando séries de Taylor): próximas ordens
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3),\qquad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
Então
\tan x - x = \frac{x^3}{3} + o(x^3),\qquad x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3),
e a razão dá
\frac{\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{\frac{x^3}{6}+o(x^3)} \to \frac{1/3}{1/6} = 2,
confirmando o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

(d) 2

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