Dada a função:
O item que afirma corretamente sobre a função s no ponto
é:
(a) A derivada existe e é dada por
(b) A derivada existe e é dada por
(c) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 3
(d) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e -3
(e) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e 6
(a) A derivada existe e é dada por
(b) A derivada existe e é dada por
(c) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 3
(d) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e -3
(e) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e 6
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes
e pergunta qual alternativa sobre o ponto
é correta. As alternativas tratam da existência da derivada em
e dos valores das derivadas laterais. Informações relevantes do enunciado:
- A definição de
à esquerda de é (válida para ). - A definição de
à direita de é (válida para ). - A pergunta envolve a existência de
e, se existir, qual é o seu valor; caso não exista, pede-se explicar pelas derivadas laterais.]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa derivada num ponto e derivadas laterais (essa é a parte teórica que precisa ficar clara para a prova).
- A derivada de
em , se existir, é o limite
- As derivadas laterais são os limites unilaterais:
- Condição para diferenciabilidade em
: é diferenciável em (ou seja, existe) se, e somente se, ambos os limites unilaterais existirem e forem iguais: . Antes disso é necessário que seja contínua em (mas continuidade sozinha não garante diferenciabilidade).
Passo 3
Verificar continuidade em
(porque é condição necessária).
- Valor pela esquerda em
(peguei a expressão da parte ): .
- Valor pela direita em
(peguei a expressão da parte ): .
Como os dois valores coincidem e a função está definida em
,
é contínua em
. Isso significa que não podemos descartar diferenciabilidade só pela descontinuidade — precisamos checar as derivadas laterais.
Passo 4
Calcular a derivada à esquerda
. Usar a expressão válida para
, que é
. Para
,
Fazendo as contas no numerador:
Portanto, para
,
Tomando o limite
obtemos
Observação intuitiva: uma função linear
tem derivada constante igual ao coeficiente angular
.
Passo 5
Calcular a derivada à direita
. Usar a expressão válida para
, que é
. Para
,
Expandindo o numerador:
Logo, para
,
Tomando o limite
obtemos
Isto também coincide com a regra básica
avaliada em
, que dá
.
Passo 6
Comparar as derivadas laterais e concluir sobre diferenciabilidade.
- Encontramos
e . - Como
, o limite não existe. Portanto não é diferenciável em , mesmo sendo contínua ali. - A alternativa que descreve corretamente esse fato é a que afirma que a derivada não existe e que as derivadas laterais são
e .
Resposta
(e) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a
e