Dada a função:
s(t)=\left\{\begin{array}{cc} 4 t-3, & t \leq 3 \\\ t^{2}, & t \geq 3 \end{array}\right.
O item que afirma corretamente sobre a função s no ponto t=3 é:
(a) A derivada existe e é dada por s^{\prime}(3)=4
(b) A derivada existe e é dada por s^{\prime}(3)=6
(c) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 3
(d) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e -3
(e) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e 6

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
s(t)=\begin{cases} 4t-3, & t\le 3,\\[4pt] t^{2}, & t\ge 3, \end{cases}
e pergunta qual alternativa sobre o ponto t=3 é correta. As alternativas tratam da existência da derivada em t=3 e dos valores das derivadas laterais. Informações relevantes do enunciado:
  • A definição de s(t) à esquerda de 3 é s(t)=4t-3 (válida para t\le3).
  • A definição de s(t) à direita de 3 é s(t)=t^{2} (válida para t\ge3).
  • A pergunta envolve a existência de s'(3) e, se existir, qual é o seu valor; caso não exista, pede-se explicar pelas derivadas laterais.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa derivada num ponto e derivadas laterais (essa é a parte teórica que precisa ficar clara para a prova).
  • A derivada de s em t=3, se existir, é o limite
s'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{s(3+h)-s(3)}{h}.
  • As derivadas laterais são os limites unilaterais:
s'_-(3)=\lim_{h\to 0^-}\frac{s(3+h)-s(3)}{h}\quad\text{(derivada à esquerda)}à
s'_+(3)=\lim_{h\to 0^+}\frac{s(3+h)-s(3)}{h}\quad\text{(derivada à direita)}.à
  • Condição para diferenciabilidade em t=3: s é diferenciável em 3 (ou seja, s'(3) existe) se, e somente se, ambos os limites unilaterais existirem e forem iguais: s'_-(3)=s'_+(3). Antes disso é necessário que s seja contínua em 3 (mas continuidade sozinha não garante diferenciabilidade).

Passo 3

Verificar continuidade em t=3 (porque é condição necessária).
  • Valor pela esquerda em t=3 (peguei a expressão da parte t\le 3): s(3)=4\cdot 3-3.
s(3)=12-3=9.
  • Valor pela direita em t=3 (peguei a expressão da parte t\ge 3): s(3)=3^{2}.
s(3)=9.
Como os dois valores coincidem e a função está definida em 3, s é contínua em t=3. Isso significa que não podemos descartar diferenciabilidade só pela descontinuidade — precisamos checar as derivadas laterais.

Passo 4

Calcular a derivada à esquerda s'_-(3). Usar a expressão válida para t\le 3, que é s(t)=4t-3. Para h<0,
\frac{s(3+h)-s(3)}{h}=\frac{(4(3+h)-3)-9}{h}.
Fazendo as contas no numerador:
4(3+h)-3-9=12+4h-3-9=4h.
Portanto, para h<0,
\frac{s(3+h)-s(3)}{h}=\frac{4h}{h}=4.
Tomando o limite h\to 0^- obtemos
s'_-(3)=4.
Observação intuitiva: uma função linear 4t-3 tem derivada constante igual ao coeficiente angular 4.

Passo 5

Calcular a derivada à direita s'_+(3). Usar a expressão válida para t\ge 3, que é s(t)=t^{2}. Para h>0,
\frac{s(3+h)-s(3)}{h}=\frac{(3+h)^{2}-9}{h}.
Expandindo o numerador:
(3+h)^{2}-9=9+6h+h^{2}-9=6h+h^{2}.
Logo, para h>0,
\frac{s(3+h)-s(3)}{h}=\frac{6h+h^{2}}{h}=6+h.
Tomando o limite h\to 0^+ obtemos
s'_+(3)=6.
Isto também coincide com a regra básica d(t^{2})/dt=2t avaliada em t=3, que dá 2\cdot 3=6.

Passo 6

Comparar as derivadas laterais e concluir sobre diferenciabilidade.
  • Encontramos s'_-(3)=4 e s'_+(3)=6.
  • Como s'_-(3)\neq s'_+(3), o limite \lim_{h\to 0}\frac{s(3+h)-s(3)}{h} não existe. Portanto s não é diferenciável em t=3, mesmo sendo contínua ali.
  • A alternativa que descreve corretamente esse fato é a que afirma que a derivada não existe e que as derivadas laterais são 4 e 6.

Resposta

(e) A derivada não existe, pois as derivadas laterais são iguais a 4 e 6

Exercícios relacionados