(a) (5 pontos) Admitindo que
, mostre que
Passo 1
Beleza, o exercício pede para mostrar que, se
, então
. Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades do valor absoluto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a distância de
até 2 é menor que 1, mas maior que 0. Ou seja,
está entre 1 e 3, excluindo o próprio 2.
Passo 3
Então, a inequação
pode ser reescrita como:
Simplificando:
Isso nos dá o intervalo em que
está.
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Vamos usar o intervalo que achamos para
:
Subtraindo 1 de todas as partes:
Passo 5
Como
está entre 0 e 2, o valor absoluto de
também estará entre 0 e 2. Ou seja: