(a) (5 pontos) Admitindo que 0 < |x - 2| < delta <= 1, mostre que
|x - 1| < 2

Passo 1

Beleza, o exercício pede para mostrar que, se , então . Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades do valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a distância de até 2 é menor que 1, mas maior que 0. Ou seja, está entre 1 e 3, excluindo o próprio 2.

Passo 3

Então, a inequação pode ser reescrita como:
Simplificando:
Isso nos dá o intervalo em que está.

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Vamos usar o intervalo que achamos para :
Subtraindo 1 de todas as partes:

Passo 5

Como está entre 0 e 2, o valor absoluto de também estará entre 0 e 2. Ou seja:

Resposta

.

Exercícios relacionados