(2 pontos) Uma barra AB de 6 m está engastada na extremidade em A . Um cabo de aço é esticado da ponta livre B da barra ao ponto C localizado na parede vertical. Se a tração no cabo é 5 kN , determine a forma vetorial da tração do cabo atuando no ponto C e determine as componentes escalares e a resultante de momento que esta tração provoca em A .

Passo 1

Então, o enunciado diz: temos uma barra AB de 6 m, engastada em A (vamos tomar A como a origem do nosso sistema) e B em (6,0,0). Um cabo de aço vai de B até C, que fica na parede vertical x=0, a uma altura h acima de A, ou seja C=(0,h,0). A tração neste cabo vale T=5 kN.
Conteúdo: Vectores em 3D, vetor unitário, produto vetorial (momento).
O que vamos usar:
  • Posição dos pontos A, B e C;
  • Definir o vetor que vai de C até B;
  • Normalizar para achar o vetor unitário na direção da tração;
  • Multiplicar por T para obter a forma vetorial da tração;
  • Calcular o momento em A via r×F.

Passo 2

Definimos as coordenadas:
A=(0,0,0),
B=(6,0,0),
C=(0,h,0).
O vetor que liga C a B é
rCB= rB- rC=(6,,0,,0)-(0,,h,,0)=(6,,-h,,0)
O comprimento desse vetor é
L=| rCB|=raiz6^2+(-h)^2=raiz36+h^2

Passo 3

O vetor unitário na direção do cabo (de C para B) é
$$\hat{\mathbf u}=\frac{\mathbf r_{CB}}{L}
=\Bigl(\frac{6}{\sqrt{36+h2}},,\frac{-h}{\sqrt{36+h2}},,0\Bigr). u= rCBL =l(6raiz36+h^2,,-hraiz36+h^2,,0r)çãçã\boxed{\displaystyle
\mathbf T_C
=5,kN,\hat{\mathbf u}
=5;\Bigl(\frac{6}{\sqrt{36+h2}},;\frac{-h}{\sqrt{36+h2}},;0\Bigr)kN.
}$$

Passo 4

Agora o momento dessa força em A é
MA= rCtimes TC,
onde MA = i& j& k 0&h&0[6pt] 56raiz36+h^2&5-hraiz36+h^2&0 =l(0,,0,;0cdot(-h)-hcdotl(56raiz36+h^2r)r) .
Fazendo o produto vetorial em coordenadas:
MA =l(0,,0,,-30,hraiz36+h^2r)kN·m
Logo
$$
\mathbf M_A
=\Bigl(0,,0,,-\frac{30,h}{\sqrt{36+h^2}}\Bigr)kN·m.
M_A=\frac{30,h}{\sqrt{36+h^2}}\quadkN·m.
$$

Resposta

Forma vetorial da tração em C:
TC =5;l(tfrac6raiz36+h^2,;tfrac-hraiz36+h^2,;0r);kN
Momento em A (componentes escalares):
MA =l(0,,0,,-tfrac30,hraiz36+h^2r);kN·m,
e sua resultante (módulo) é
MA=30,hraiz36+h^2;kN·m

Exercícios relacionados