A menor distância entre dois pontos
Mostre, utilizando o cálculo variacional, que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Demonstre todas as passagens possíveis, partindo da definição do comprimento de uma curva e aplicando a equação de Euler-Lagrange.
Mostre, utilizando o cálculo variacional, que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Demonstre todas as passagens possíveis, partindo da definição do comprimento de uma curva e aplicando a equação de Euler-Lagrange.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra mostrar que, se você quer ligar dois pontos num plano de maneira que a curva tenha o menor comprimento possível, essa curva acaba sendo uma reta. O conteúdo aqui é Cálculo Variacional, e a ferramenta que vamos usar é a equação de Euler–Lagrange. Precisamos:
- Escrever o comprimento de uma curva
por meio de um funcional. - Aplicar Euler–Lagrange pra encontrar a curva que minimiza esse funcional.
Passo 2
Primeiro, definimos o funcional que mede o comprimento da curva
de
até
:
Aqui a “densidade” é
Nosso objetivo é minimizar
.
Passo 3
A equação de Euler–Lagrange é
Repara que
não depende de
explicitamente, só de
. Então
e sobra
onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos calcular
. Como
temos
Então a condição
vira
Elevando ao quadrado e resolvendo pra
:
onde
é uma outra constante.
Passo 5
Se
é constante, basta integrar uma vez:
com
constante de integração. São duas constantes (
e
) que a gente ajusta pelas condições de contorno:
Plugando:
isso dá
Resposta
A curva que minimiza o comprimento é
ou seja, a reta que liga
a
.