A menor distância entre dois pontos
Mostre, utilizando o cálculo variacional, que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Demonstre todas as passagens possíveis, partindo da definição do comprimento de uma curva e aplicando a equação de Euler-Lagrange.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra mostrar que, se você quer ligar dois pontos num plano de maneira que a curva tenha o menor comprimento possível, essa curva acaba sendo uma reta. O conteúdo aqui é Cálculo Variacional, e a ferramenta que vamos usar é a equação de Euler–Lagrange. Precisamos:
  1. Escrever o comprimento de uma curva por meio de um funcional.
  2. Aplicar Euler–Lagrange pra encontrar a curva que minimiza esse funcional.

Passo 2

Primeiro, definimos o funcional que mede o comprimento da curva L[y] ;=;integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx de Fl(x,y,y'r);=;raiz1 + (y')^2, até :
Aqui a “densidade” é
Nosso objetivo é minimizar .

Passo 3

A equação de Euler–Lagrange é
partial Fpartial y - ddx!l(partial Fpartial y'r) = 0
Repara que ddx!l(partial Fpartial y'r) = 0 ;;Longrightarrow;; partial Fpartial y' = C não depende de explicitamente, só de . Então e sobra
onde é uma constante.

Passo 4

Vamos calcular F = raiz1+(y')^2, . Como
partial Fpartial y' = 12,(1+(y')^2)^-tfrac12,2y' = y'raiz1+(y')^2
temos
y'raiz1+(y')^2 = C
Então a condição (y')^21+(y')^2 = C^2 ;;Longrightarrow;; (y')^2 = C^21 - C^2 ;;Longrightarrow;; y' = k vira
Elevando ao quadrado e resolvendo pra :
onde é uma outra constante.

Passo 5

Se y(x) = kx + d, é constante, basta integrar uma vez:
y(a) = ya, y(b) = yb
com ya = ka + d, yb = kb + d, constante de integração. São duas constantes ( k = yb - yab - a, d = ya - k,a e ) que a gente ajusta pelas condições de contorno:
Plugando:
isso dá

Resposta

A curva que minimiza o comprimento é
boxedy(x) ;=; ya ;+;yb - ya,b - a,,(x - a),
ou seja, a reta que liga a .

Exercícios relacionados