( 3,5 pontos) Uma barra homogênea de massa m está articulada (sem atritos) no ponto O . Uma mola de rigidez \boldsymbol{k} presa a uma parede inclinada se liga à barra em um ponto de tal forma a ter uma inclinação de 45^{\circ}. Um amortecedor (de coeficiente de amortecimento \boldsymbol{c} ) preso ao teto se liga a uma das extremidades da barra. Suponha que \boldsymbol{L}, \boldsymbol{k}, \boldsymbol{m}, \boldsymbol{c}, e \boldsymbol{g} sejam dados, e assuma a função de dissipação de Rayleigh: \mathcal{F}=\frac{c v^{2}}{2}, na qual v é a velocidade da extremidade direita da barra. Faça o que é solicitado a seguir:
a) Determine a função da energia potencial em função de \theta,
b) Determine a função Lagrangiana em função de \theta e \dot{\theta},
c) Determine a equação diferencial do movimento da barra, usando a equação de Lagrange. Linearize a equação para valores de \theta próximos a zero.
d) Determine a pulsação natural do sistema, caso o amortecedor seja retirado dele.
Dicas e Hipóteses: 1. Suponha que para valores pequenos de \theta a deformação z da mola possa ser calculada por z=\left(\frac{L \sqrt{2}}{4} \theta-z_{0}\right), na qual a deformação inicial da mola é z_{0}=\frac{m g}{k \sqrt{2}}. 2. Suponha que para pequenos valores de \theta o ângulo de 45^{\circ} permaneça constante. 3. Suponha que a posição de equilíbrio da barra seja horizontal.
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) Encontrar a energia potencial V(\theta) em função de \theta.
(b) Encontrar a Lagrangiana \mathcal{L}(\theta,\dot{\theta}).
(c) Obter a equação diferencial do movimento usando a equação de Lagrange com dissipação de Rayleigh e linearizá‑la para \theta próximos de zero.
(d) Determinar a pulsação natural (quando o amortecedor é removido).
Informações e hipóteses relevantes dadas no enunciado (usadas adiante sem pedir nada extra):
Parâmetros dados: comprimento total da barra L, massa m, rigidez da mola k, coeficiente de amortecimento c, gravidade g.
Geometria (retirada da figura): o ponto de articulação O está a L/4 do lado esquerdo; o ponto de ligação da mola está a L/2 à direita de O; a extremidade direita (onde está o amortecedor) está a 3L/4 à direita de O.
A mola faz ângulo 45^\circ com a barra e, para pequenos \theta, esse ângulo permanece 45^\circ.
A função de dissipação de Rayleigh é \mathcal{F}=\dfrac{c v^{2}}{2}, onde v é a velocidade da extremidade direita da barra.
Dica do enunciado: para pequenos \theta a deformação da mola éz=\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\,\theta - z_{0}\right),com z_{0}=\dfrac{m g}{k\sqrt{2}}.
Posição de equilíbrio escolhida: barra horizontal em \theta=0.
Passo 2
Escolha da coordenada generalizada e posições:
Coordenada generalizada única: \theta(t), ângulo pequeno da extremidade direita subindo (sentido mostrado na figura).
Distâncias a partir do pivô O:
centro de massa da barra: r_{\text{cm}}=\dfrac{L}{4} (para a direita de O);
ponto de ligação da mola: r_{s}=\dfrac{L}{2};
extremidade direita (ponto do amortecedor): r_{e}=\dfrac{3L}{4}.
Usarei a relação dada para a deformação da mola:z(\theta)=\frac{L\sqrt{2}}{4}\,\theta - z_{0}, \qquad z_{0}=\frac{m g}{k\sqrt{2}}.
Velocidade tangencial da extremidade direita (para uso no amortecimento) é v=r_{e}\dot{\theta}=\dfrac{3L}{4}\dot{\theta}.
Passo 3
Energia cinética T da barra (explicação didática):
Para um corpo rígido girando em torno de um ponto fixo, a energia cinética é \;T=\dfrac{1}{2}I_{O}\dot{\theta}^{2}, onde I_{O} é o momento de inércia em relação ao pivô O.
Momento de inércia da barra homogênea (comprimento L, massa m) em torno do centro é I_{\text{cm}}=\dfrac{1}{12}mL^{2}.
Distância entre o centro e o pivô O é a=\dfrac{L}{4}. Pelo teorema dos eixos (Steiner):I_{O}=I_{\text{cm}}+m a^{2}=\frac{1}{12}mL^{2}+m\left(\frac{L}{4}\right)^{2}.
Portanto a energia cinética éT=\frac{1}{2}I_{O}\dot{\theta}^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{48}mL^{2}\right)\dot{\theta}^{2}.
Passo 4
Energia potencial V(\theta) — explicando cada termo:
A energia potencial total é a soma da energia potencial gravitacional do centro de massa e da energia elástica da mola:V(\theta)=V_{g}(\theta)+V_{k}(\theta).
Gravidade: a coordenada vertical do centro de massa, relativo à posição horizontal inicial, é y_{\text{cm}}=r_{\text{cm}}\sin\theta=\dfrac{L}{4}\sin\theta. AssimV_{g}(\theta)=m g\,\frac{L}{4}\sin\theta.(A convenção é que V_g aumenta quando o centro de massa sobe.)
Mola: usando a deformação z(\theta) dada (medida em relação ao comprimento natural),V_{k}(\theta)=\frac{1}{2}k\bigl(z(\theta)\bigr)^{2} =\frac{1}{2}k\!\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right)^{2}.
Logo a energia potencial total éV(\theta)=m g\,\frac{L}{4}\sin\theta+\frac{1}{2}k\!\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right)^{2}.
Passo 5
Lagrangiana \mathcal{L}=T-V (explicada passo a passo):
Já temos T e V. Portanto\mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})= \frac{1}{2}\left(\frac{7}{48}mL^{2}\right)\dot{\theta}^{2} - m g\,\frac{L}{4}\sin\theta -\frac{1}{2}k\!\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right)^{2}.
Aqui cada termo tem interpretação física:
primeiro termo: energia cinética rotacional;
segundo: energia potencial gravitacional;
terceiro: energia elástica da mola (inclui o pré‑alongamento z_{0}).
Passo 6
Função de dissipação de Rayleigh e seu termo na equação:
A função de dissipação é \mathcal{F}=\dfrac{1}{2}c v^{2} com v=r_{e}\dot{\theta}=\dfrac{3L}{4}\dot{\theta}.
Nas equações de Lagrange com dissipação aparece o termo \dfrac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{\theta}}. Calculando:\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{\theta}} = c\left(\frac{9L^{2}}{16}\right)\dot{\theta}.
Passo 7
Equação de Lagrange com dissipação — derivação completa:
A equação generalizada é\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right) -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} +\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{\theta}}=0.
\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=-\dfrac{dV}{d\theta}. Calculamos \dfrac{dV}{d\theta} a partir de V_{g} e V_{k}:\frac{dV}{d\theta} =m g\,\frac{L}{4}\cos\theta +k\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right)\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\right).(porque \dfrac{d}{d\theta}\Big(\tfrac{1}{2}k(z(\theta))^{2}\Big)=k z(\theta) z'(\theta).)
Já calculámos \dfrac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{\theta}}=c\left(\dfrac{9L^{2}}{16}\right)\dot{\theta}.
Substituindo tudo na equação:I_{O}\ddot{\theta} + c\left(\frac{9L^{2}}{16}\right)\dot{\theta} + m g\,\frac{L}{4}\cos\theta + k\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\right)\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right) =0.
Podemos simplificar usando I_{O}=\dfrac{7}{48}mL^{2} e escrever a equação não linear do movimento em forma explícita (mantendo termos trigonométricos e a dependência em \theta):\frac{7}{48}mL^{2}\,\ddot{\theta} + c\left(\frac{9L^{2}}{16}\right)\dot{\theta} + m g\,\frac{L}{4}\cos\theta + k\left(\frac{L^{2}}{8}\right)\theta - k\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\right)z_{0} =0,pois \left(\dfrac{L\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\dfrac{L^{2}}{8}.
Passo 8
Linearização para \theta próximos de zero (explicando cancelamento das constantes):
Primeiro observe a condição de equilíbrio em \theta=0 (barra horizontal): substituindo \theta=0 e \dot{\theta}=\ddot{\theta}=0 na equação não linear, obtemosm g\,\frac{L}{4} - k\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\right)z_{0}=0,que é exatamente a relação dada para z_{0}=\dfrac{m g}{k\sqrt{2}}. Assim os termos constantes se anulam, como esperado (a mola, com pré‑deformação z_{0}, equilibra o torque gravitacional).
Para a linearização, expandimos \cos\theta\approx 1 e mantemos apenas termos lineares em \theta. Depois de usar a condição de equilíbrio, o termo constante resultante de m g(L/4)\cos\theta e o termo constante do termo da mola se cancelam, e o termo linear vindo de \cos\theta é de ordem O(\theta^{2}) (porque \cos\theta-1 é O(\theta^{2})), portanto o único termo linear remanescente em \theta vem da parte elástica da mola k a^{2}\theta.
Dividindo por I_{O}=\dfrac{7}{48}mL^{2} (observe que L^{2} cancela), obtemos uma forma padrão:\ddot{\theta} + \underbrace{\frac{c\left(\tfrac{9L^{2}}{16}\right)}{I_{O}}}_{\text{coef. de amortecimento}} \dot{\theta} + \underbrace{\frac{k\left(\tfrac{L^{2}}{8}\right)}{I_{O}}}_{\text{rigidez efetiva}} \theta =0.
Simplificando os coeficientes (fazer as contas passo a passo):
Para o termo de rigidez:\frac{k\left(\tfrac{L^{2}}{8}\right)}{I_{O}} =\frac{k\left(\tfrac{L^{2}}{8}\right)}{\tfrac{7}{48}mL^{2}} =\frac{k}{8}\cdot\frac{48}{7m} =\frac{6k}{7m}.
Para o termo de amortecimento:\frac{c\left(\tfrac{9L^{2}}{16}\right)}{I_{O}} =\frac{c\left(\tfrac{9}{16}\right)}{\tfrac{7}{48}m}\;=\; \frac{c}{m}\cdot\frac{9\cdot48}{16\cdot 7} =\frac{c}{m}\cdot\frac{9\cdot 3}{7} =\frac{27}{7}\,\frac{c}{m}.
Portanto a equação linearizada final (segunda ordem, com amortecimento) é\ddot{\theta}+\frac{27}{7}\,\frac{c}{m}\,\dot{\theta}+\frac{6k}{7m}\,\theta=0.
Passo 9
Pulsação natural (amortecedor retirado) — explicação e resultado:
Se o amortecedor for retirado, c=0 e a equação linearizada homogênea fica\ddot{\theta}+\frac{6k}{7m}\,\theta=0,que é uma oscilação harmônica simples com pulsação natural \omega_{n} tal que\omega_{n}^{2}=\frac{6k}{7m}.
Assim a pulsação natural é\omega_{n}=\sqrt{\frac{6k}{7m}}.
Resposta
(a) V(\theta)=m g\,\dfrac{L}{4}\sin\theta+\dfrac{1}{2}k\!\left(\dfrac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right)^{2}, com z_{0}=\dfrac{m g}{k\sqrt{2}}.
(b) \displaystyle \mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{48}mL^{2}\right)\dot{\theta}^{2}
- m g\,\frac{L}{4}\sin\theta
-\frac{1}{2}k\!\left(\frac{L\sqrt{2}}{4}\theta - z_{0}\right)^{2}.