1. (2 pontos) Um cabo de par trançado usado em redes de computadores contém 8 fios. Calcule o número de maneiras que se pode conectar 8 entradas em um extremo a 8 saidas em outro extremo.

Passo 1

O enunciado dá que há 8 fios (ou seja, 8 pontos de entrada num extremo e 8 pontos de saída no outro extremo) e pede: “Calcule o número de maneiras que se pode conectar 8 entradas em um extremo a 8 saídas em outro extremo.”
Informações relevantes que usaremos (explicitadas): cada entrada deve ser conectada a exatamente uma saída e cada saída recebe exatamente uma entrada (ou seja, estamos contando emparelhamentos bijetivos entre os 8 pontos de um lado e os 8 do outro).

Passo 2

Idea de contagem passo a passo (princípio multiplicativo): pense em conectar as entradas uma a uma. Para a primeira entrada há 8 escolhas de saída; depois de usada essa saída, para a segunda entrada restam 7 escolhas; para a terceira restam 6, e assim por diante até a última entrada, que terá 1 escolha. Multiplicando as escolhas em sequência obtemos o número total de conexões possíveis:
8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1.

Passo 3

Definição e notação: o produto acima é chamado de fatorial de 8 e é escrito \,8!. Em geral, para um inteiro positivo n, definimos
n! = n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1,
que conta o número de permutações de n objetos. Aqui, 8! é justamente o número de maneiras de permutar (ou ligar) as 8 saídas para as 8 entradas.

Passo 4

Cálculo explícito passo a passo (para você poder acompanhar na prova sem calculadora, mostrando multiplicações intermediárias):
8\times7=56,
56\times6=336,
336\times5=1680,
1680\times4=6720,
6720\times3=20160,
20160\times2=40320,
40320\times1=40320.
Logo, 8! = 40320.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova: o resultado 40320 é o número de bijeções (ou permutações) entre os conjuntos de 8 entradas e 8 saídas — a ordem importa porque ligar a entrada A na saída 1 é diferente de ligar A na saída 2. Na prova, reconheça rapidamente situações assim por "permutação de n" e escreva n!; memorizando alguns fatoriais pequenos (como 5!,6!,7!,8!) você ganha tempo.

Resposta

40320

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