- (2 pontos) Um cabo de par trançado usado em redes de computadores contém 8 fios. Calcule o número de maneiras que se pode conectar 8 entradas em um extremo a 8 saidas em outro extremo.
Passo 1
O enunciado dá que há
fios (ou seja,
pontos de entrada num extremo e
pontos de saída no outro extremo) e pede: “Calcule o número de maneiras que se pode conectar
entradas em um extremo a
saídas em outro extremo.”
Informações relevantes que usaremos (explicitadas): cada entrada deve ser conectada a exatamente uma saída e cada saída recebe exatamente uma entrada (ou seja, estamos contando emparelhamentos bijetivos entre os pontos de um lado e os
do outro).
Informações relevantes que usaremos (explicitadas): cada entrada deve ser conectada a exatamente uma saída e cada saída recebe exatamente uma entrada (ou seja, estamos contando emparelhamentos bijetivos entre os
Passo 2
Idea de contagem passo a passo (princípio multiplicativo): pense em conectar as entradas uma a uma. Para a primeira entrada há
escolhas de saída; depois de usada essa saída, para a segunda entrada restam
escolhas; para a terceira restam
, e assim por diante até a última entrada, que terá
escolha. Multiplicando as escolhas em sequência obtemos o número total de conexões possíveis:
Passo 3
Definição e notação: o produto acima é chamado de fatorial de
e é escrito
. Em geral, para um inteiro positivo
, definimos
que conta o número de permutações de
objetos. Aqui,
é justamente o número de maneiras de permutar (ou ligar) as
saídas para as
entradas.
Passo 4
Cálculo explícito passo a passo (para você poder acompanhar na prova sem calculadora, mostrando multiplicações intermediárias):
Logo,
.
Passo 5
Interpretação final e dica de prova: o resultado
é o número de bijeções (ou permutações) entre os conjuntos de
entradas e
saídas — a ordem importa porque ligar a entrada A na saída 1 é diferente de ligar A na saída 2. Na prova, reconheça rapidamente situações assim por "permutação de
" e escreva
; memorizando alguns fatoriais pequenos (como
) você ganha tempo.