1. ( 2 pontos) Encontre todas as soluções inteiras (entre 0 e m) para as congruência 3 x \equiv 5(\bmod 8) e determine a forma geral de uma solução.

Passo 1

O enunciado dá a congruência 3x \equiv 5 \pmod{8}. Pede duas coisas:
  1. Encontrar todas as soluções inteiras entre 0 e m (aqui o módulo é m=8, então quero as soluções em \{0,1,\dots,7\}).
  2. Determinar a forma geral de todas as soluções inteiras (ou seja, uma expressão que gera todas as soluções).
Informações fornecidas: o coeficiente a=3, o termo à direita b=5 e o módulo m=8.

Passo 2

Antes de tentar resolver, precisamos verificar se a congruência tem solução. Existe um resultado simples que vamos usar e entender bem: a congruência
ax \equiv b \pmod{m}
tem solução se, e somente se, \gcd(a,m) divide b. Aqui \gcd(a,m) significa o maior divisor comum entre a e m. Vou aplicar isso ao nosso caso com a=3, b=5, m=8.

Passo 3

Calcular \gcd(3,8) usando o algoritmo de Euclides (passo a passo para você entender):
8 = 3\cdot 2 + 2
3 = 2\cdot 1 + 1
2 = 1\cdot 2 + 0
Como o resto chegou a 0, o último resto não nulo é 1. Logo
\gcd(3,8)=1.
Explicação didática: \gcd(3,8)=1 significa que 3 e 8 são coprimos (não têm divisor comum além de 1). Como 1 divide qualquer inteiro, em particular divide 5, a condição de existência de solução está satisfeita. Portanto há soluções.

Passo 4

Quando \gcd(a,m)=1, existe um inverso multiplicativo de a módulo m; isto é, existe um número a^{-1} tal que
a\cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{m}.
Se encontrarmos esse inverso, basta multiplicar ambos os lados da congruência por ele para isolar x.
No nosso caso a=3 e m=8. Como os números são pequenos, podemos achar o inverso de 3 por tentativa rápida: calcule os restos de múltiplos de 3 módulo 8:
3\equiv3\pmod{8},\quad 2\cdot3=6\equiv6\pmod{8},\quad 3\cdot3=9\equiv1\pmod{8}.
Vimos que 3\cdot3\equiv1\pmod{8}. Portanto o inverso de 3 módulo 8 é 3 mesmo: 3^{-1}\equiv3\pmod{8}.

Passo 5

Multiplicamos a congruência original por esse inverso para resolver para x. Começamos com
3x \equiv 5 \pmod{8}.
Multiplicando ambos os lados por 3 (o inverso de 3 modulo 8) obtemos
3\cdot(3x) \equiv 3\cdot 5 \pmod{8}.
No lado esquerdo 3\cdot(3x)=(3\cdot3)x\equiv 1\cdot x = x\pmod{8}, porque 3\cdot3\equiv1\pmod{8}. No lado direito 3\cdot5=15. Assim
x \equiv 15 \pmod{8}.
Agora reduzimos 15 módulo 8: 15-8=7, então
x \equiv 7 \pmod{8}.

Passo 6

Interpretando o resultado: a congruência x\equiv7\pmod{8} significa que todas as soluções inteiras são números que deixam resto 7 na divisão por 8. A forma geral de todas as soluções é
x = 7 + 8k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Explicação do porquê: se x_0 é solução, então x_0+8k também é solução porque
3(x_0+8k)=3x_0+24k \equiv 3x_0 \pmod{8},
e 24k\equiv0\pmod{8}. Portanto adicionar múltiplos de 8 não altera a congruência.

Passo 7

Agora a parte pedida das soluções entre 0 e m. O conjunto padrão de representantes de classes modulares é \{0,1,\dots,7\}. Desses, apenas 7 satisfaz a congruência x\equiv7\pmod{8}. Podemos verificar plugando x=7:
3\cdot 7 = 21 \equiv 21-16 = 5 \pmod{8},
logo satisfaz 3x\equiv5\pmod{8}.

Resposta

x=7 \n
x=7+8k,\;k\in\mathbb{Z}

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