O denominador é \,x y^{2}-4 y^{2}-16 x+32.
O que se pede: calcular o limite bidimensional acima.
Passo 2
Estratégia (explicação útil para prova): funções polinomiais são contínuas nas variáveis envolvidas, então os limites das expressões polinomiais ao aproximar (x,y) de um ponto são simplesmente os valores obtidos pela substituição direta. Além disso, há uma propriedade de limites que é essencial aqui: se \lim f = A e \lim g = B com B\neq 0, então
\lim \frac{f}{g}=\frac{A}{B}.
Portanto, primeiro vamos calcular os limites (valores) do numerador e do denominador quando (x,y)\to(2,4).
Passo 3
Calcular o valor do numerador em (x,y)=(2,4). Primeiro fatoro para visualizar melhor:
Portanto o denominador tende a -32, que é diferente de zero.
Passo 5
Aplicando a propriedade de limite do passo 2: o numerador tende a 0 e o denominador tende a -32\neq 0, logo o limite da razão é o quociente dos limites:
Intuitivamente: o numerador vai a zero mais rápido do que o denominador (ou, dito de forma simples, o denominador não zera no ponto), então a fração vai para zero.