1. (2,0 pontos) Calcular
\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\\ y \rightarrow 4}} \frac{x^{2} y-4 y-4 x^{2}+16}{x y^{2}-4 y^{2}-16 x+32}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{\substack{x\to 2\\\ y\to 4}} \frac{x^{2} y-4 y-4 x^{2}+16}{x y^{2}-4 y^{2}-16 x+32}.
Informações dadas:
  • As variáveis tendem para \,x\to 2 e y\to 4.
  • O numerador é \,x^{2} y-4 y-4 x^{2}+16.
  • O denominador é \,x y^{2}-4 y^{2}-16 x+32.
    O que se pede: calcular o limite bidimensional acima.

Passo 2

Estratégia (explicação útil para prova): funções polinomiais são contínuas nas variáveis envolvidas, então os limites das expressões polinomiais ao aproximar (x,y) de um ponto são simplesmente os valores obtidos pela substituição direta. Além disso, há uma propriedade de limites que é essencial aqui: se \lim f = A e \lim g = B com B\neq 0, então
\lim \frac{f}{g}=\frac{A}{B}.
Portanto, primeiro vamos calcular os limites (valores) do numerador e do denominador quando (x,y)\to(2,4).

Passo 3

Calcular o valor do numerador em (x,y)=(2,4). Primeiro fatoro para visualizar melhor:
x^{2} y-4 y-4 x^{2}+16 = y(x^{2}-4)-4(x^{2}-4) = (x^{2}-4)(y-4).
Agora avalio em (x,y)=(2,4):
x^{2}-4\big|_{x=2}=2^{2}-4=4-4=0, \qquad y-4\big|_{y=4}=4-4=0,
portanto o numerador tende a
(x^{2}-4)(y-4)\big|_{(2,4)} = 0\cdot 0 = 0.

Passo 4

Calcular o valor do denominador em (x,y)=(2,4) por substituição direta (mostrando as contas):
x y^{2}-4 y^{2}-16 x+32 \big|_{(2,4)} = 2\cdot 4^{2} -4\cdot 4^{2} -16\cdot 2 +32.
Calculo passo a passo:
4^{2}=16,
2\cdot 16 = 32, \qquad 4\cdot 16 = 64, \qquad 16\cdot 2 = 32,
logo
32 - 64 - 32 + 32 = (32-64) + (-32+32) = -32 + 0 = -32.
Portanto o denominador tende a -32, que é diferente de zero.

Passo 5

Aplicando a propriedade de limite do passo 2: o numerador tende a 0 e o denominador tende a -32\neq 0, logo o limite da razão é o quociente dos limites:
\lim_{\substack{x\to 2\\\ y\to 4}} \frac{x^{2} y-4 y-4 x^{2}+16}{x y^{2}-4 y^{2}-16 x+32} = \frac{0}{-32}=0.
Intuitivamente: o numerador vai a zero mais rápido do que o denominador (ou, dito de forma simples, o denominador não zera no ponto), então a fração vai para zero.

Resposta

0

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