Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de Cauchy de números reais. Suponha que exista uma subsequência \left(x_{n_{k}}\right) convergente de \left(x_{n}\right) tal que \lim x_{n_{k}}=a. Mostre que \lim x_{n}=a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • (x_n) é uma sequência de números reais que é de Cauchy.
  • Existe uma subsequência (x_{n_k}) de (x_n) tal que \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{n_k} = a.
O que se pede:
  • Mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = a.

Passo 2

Vamos lembrar as definições e um lema que usaremos (sem provar aprofundadamente, só a ideia):
  • Definição de sequência de Cauchy: (x_n) é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo m,n\ge N,
|x_m-x_n|<\varepsilon.
  • Definição de convergência para o limite a: \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = a significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-a|<\varepsilon.
  • Lema útil (triângulo): para quaisquer números reais u,v,w vale
|u-w|\le |u-v|+|v-w|.
Isto é, a distância direta não excede a soma das duas distâncias intermediárias.

Passo 3

Começamos a prova. Tome um \varepsilon>0 arbitrário. O objetivo é encontrar um N (dependendo de \varepsilon) tal que, para todo n\ge N, tenha-se |x_n-a|<\varepsilon.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=a, pela definição de limite existe K\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge K,
|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}.
Isto significa que, a partir de um certo posto na subsequência, todos os seus termos ficam a menos de \varepsilon/2 de a.

Passo 5

Como (x_n) é uma sequência de Cauchy, aplicando a definição com a tolerância \varepsilon/2 existe N'\in\mathbb{N} tal que, para todos m,n\ge N',
|x_m-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 6

Observação sobre subsequência: os índices n_k formam uma sequência estritamente crescente e vão para +\infty. Portanto, existe k_0\ge K tal que n_{k_0}\ge N'. (Intuitivamente: a subsequência vai para infinito, então algum termo dela ficará além do índice N'.)

Passo 7

Defina N:=N'. Seja agora qualquer n\ge N. Consideramos o termo x_{n_{k_0}}. Temos n\ge N e n_{k_0}\ge N, portanto, pela propriedade Cauchy (Passo 5),
|x_n-x_{n_{k_0}}|<\frac{\varepsilon}{2}.
Também, por escolha de k_0 (Passo 4),
|x_{n_{k_0}}-a|<\frac{\varepsilon}{2}.
Aplicando a desigualdade triangular com u=x_n, v=x_{n_{k_0}}, w=a, obtemos
|x_n-a|\le |x_n-x_{n_{k_0}}|+|x_{n_{k_0}}-a| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso vale para todo n\ge N.

Passo 8

Concluímos: dado o \varepsilon>0 arbitrário, encontramos N tal que, para todo n\ge N, |x_n-a|<\varepsilon. Pela definição de limite, isso mostra que \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = a.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = a

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