Seja
uma sequência de Cauchy de números reais. Suponha que exista uma subsequência
convergente de
tal que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma sequência de números reais que é de Cauchy. - Existe uma subsequência
de tal que .
O que se pede:
- Mostrar que
.
Passo 2
Vamos lembrar as definições e um lema que usaremos (sem provar aprofundadamente, só a ideia):
- Definição de sequência de Cauchy:
é Cauchy se, para todo , existe tal que, para todo ,
- Definição de convergência para o limite
: significa que, para todo , existe tal que, para todo ,
- Lema útil (triângulo): para quaisquer números reais
vale
Isto é, a distância direta não excede a soma das duas distâncias intermediárias.
Passo 3
Começamos a prova. Tome um
arbitrário. O objetivo é encontrar um
(dependendo de
) tal que, para todo
, tenha-se
.
Passo 4
Como
, pela definição de limite existe
tal que, para todo
,
Isto significa que, a partir de um certo posto na subsequência, todos os seus termos ficam a menos de
de
.
Passo 5
Como
é uma sequência de Cauchy, aplicando a definição com a tolerância
existe
tal que, para todos
,
Passo 6
Observação sobre subsequência: os índices
formam uma sequência estritamente crescente e vão para
. Portanto, existe
tal que
. (Intuitivamente: a subsequência vai para infinito, então algum termo dela ficará além do índice
.)
Passo 7
Defina
. Seja agora qualquer
. Consideramos o termo
. Temos
e
, portanto, pela propriedade Cauchy (Passo 5),
Também, por escolha de
(Passo 4),
Aplicando a desigualdade triangular com
,
,
, obtemos
Isso vale para todo
.
Passo 8
Concluímos: dado o
arbitrário, encontramos
tal que, para todo
,
. Pela definição de limite, isso mostra que
.