) (2,0 pontos) Calcule o campo elétrico, o potencial elétrico e a energia eletrostática total de uma casca esférica homogênea de carga
e raio
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre uma casca esférica homogênea (isto é, carga distribuída apenas sobre a superfície da esfera): o campo elétrico, o potencial elétrico e a energia eletrostática total. Os dados que temos são:
- carga total
colocada uniformemente sobre a casca; - raio da casca
; - supõe-se vácuo com constante elétrica
.
As perguntas explícitas são:
- Calcular
para todo (dentro e fora da casca). - Calcular o potencial elétrico
para todo (com a convenção ). - Calcular a energia eletrostática total
armazenada no campo (ou trabalho para montar a casca).
Passo 2
Conceito e ferramenta principal: Lei de Gauss. Vou explicar por que usar Gauss aqui e como ela funciona. A Lei de Gauss no formato integral diz:
onde
é a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada que envolve um volume
, e
é a carga total dentro dessa superfície. Para um problema com simetria esférica (a casca é esférica e a distribuição é uniforme na superfície) o campo elétrico só pode ser radial e com módulo dependendo apenas da distância radial
. Isso simplifica a integral: sobre uma superfície esférica de raio
,
é paralelo a
e constante em módulo, então
Usaremos isso para obter
.
Passo 3
Campo para
(fora da casca). Aqui a superfície gaussiana de raio
envolve toda a carga
, então
. Aplicando Gauss:
Isolando
(módulo) obtemos
Direção: radial para fora se
, então em vetor:
Comentário didático: isso é idêntico ao campo de uma carga puntiforme
colocada no centro — por simetria, externamente a casca a distribuição se comporta como uma carga pontual.
Passo 4
Campo para
(dentro da casca). Se a superfície gaussiana de raio
está inteiramente dentro da casca, ela não engloba carga (toda a carga está na superfície
). Então
. Pela Lei de Gauss:
Ou seja, dentro da casca o campo elétrico é nulo. Isso é resultado direto da simetria e do fato de a carga estar somente na superfície.
Passo 5
Relação entre campo e potencial e escolha de referência. O potencial elétrico
é definido pela relação:
ou na forma escalar radial (quando
é radial):
Escolhemos
(convenção comum). Então para
podemos obter
integrando:
Substituindo
e integrando:
Ou seja,
Passo 6
Potencial para
(dentro da casca). Como
para
, o potencial não varia no interior:
implica
constante dentro. A constante é o valor na superfície
. Assim
Verificação de continuidade: o potencial é contínuo em
(o campo pode ter descontinuidade normal, que de fato ocorre devido à superfície com densidade superficial de carga).
Passo 7
Energia eletrostática total
— método 1: energia do campo. A energia armazenada no campo elétrico é
Como
para
, somente a região
contribui. Em coordenadas esféricas:
Substituindo
para
:
Agora simplificamos passo a passo:
Mas é mais direto fazer a álgebra inteira:
Os fatores dão:
A integral é
. Portanto
Passo 8
Energia eletrostática total
— método 2 (verificação): trabalho necessário para montar a casca trazendo carga aos poucos desde o infinito. Imagine formar a casca trazendo uma pequena carga
e depositando-a sobre a superfície já com carga
. A energia necessária para trazer
é
, onde
é o potencial na superfície quando já existe carga
. Assim
Integrando
de
até
:
o mesmo resultado do método do campo. Isso confirma a consistência física: energia do campo = trabalho de montagem.
Passo 9
Resumo físico e unidades: o campo é nulo no interior e igual ao de uma carga pontual no exterior; o potencial é contínuo e constante no interior; a energia total cresce com
e diminui com
(menor raio → maior energia, o que faz sentido: concentrar carga custa energia). As expressões obtidas estão em unidades SI (joules para
).