( 2,0 pontos) Considere uma semi-esfera de raio
com uma distribuição de carga com densidade volumétrica
dada por
entāo, calcule o momento de dipolo elétrico desta distribuição.
Passo 1
O enunciado fornece uma distribuição de carga numa semi-esfera de raio
(presumo a semi-esfera superior), com densidade volumétrica
definida para
,
e
.
A pergunta é: calcular o momento de dipolo elétrico dessa distribuição, isto é o vetor dado pela integral do momento de carga sobre todo o volume da semi-esfera.
A pergunta é: calcular o momento de dipolo elétrico dessa distribuição, isto é o vetor
Informações relevantes listadas:
- Região de integração: semi-esfera de raio
— em coordenadas esféricas: , , . - Densidade:
. - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Apresento a fórmula que define o momento de dipolo elétrico para uma densidade volumétrica:
Aqui
é o vetor posição (do elemento de volume até a origem) e
é o elemento de volume. Vou usar coordenadas esféricas, pois a região é uma semi-esfera e a densidade já está dada em
.
Passo 3
Recordando representações em coordenadas esféricas (úteis para montar a integral):
e o elemento de volume é
Portanto a integral para cada componente será feita multiplicando a componente correspondente de
por
e
, e integrando sobre
.
Passo 4
Escrevo explicitamente as três componentes do momento de dipolo:
Substituo
em cada uma.
Passo 5
Calculo o integrando de
:
Logo
Para
o integrando fica proporcional a
. Especificamente:
e a integral em
de
a
de
é zero (função de período completa e paridade), logo
Para
o integrando fica proporcional a
:
e a integral em
de
de
a
também é zero, portanto
Conclusão de simetria: apenas
é diferente de zero; o vetor
aponta na direção
(por causa do fator
na densidade).
Passo 6
Vou calcular as três integrais separadas que aparecem em
.
- Integral radial:
Faço a mudança de variável
, com
. Então
Calculo
por redução (integração por partes recorrente). Defino
. Uma integração por partes dá a relação
com
.
Aplicando para :
Aplicando para
Portanto
Passo 7
- Integral em
:
Faço
,
. Então
- Integral em
:
Uso a identidade
. Integrando:
Passo 8
Agora junto tudo para obter
:
Simplificando:
Uma forma alternativa equivalente e um pouco mais factorizada é
Como
, o vetor momento de dipolo é