( 2,0 pontos) Considere uma semi-esfera de raio R com uma distribuição de carga com densidade volumétrica \rho(\vec{r}) dada por
\rho(\vec{r})=\rho_{0} \sin \theta \cos \varphi e^{-r / R} \quad(0<\theta<\pi / 2) \quad(0<\varphi<2 \pi)
entāo, calcule o momento de dipolo elétrico desta distribuição.

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de carga numa semi-esfera de raio R (presumo a semi-esfera superior), com densidade volumétrica
\rho(\vec r)=\rho_{0}\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/R},
definida para 0<\theta<\pi/2, 0<\varphi<2\pi e 0\le r\le R.
A pergunta é: calcular o momento de dipolo elétrico dessa distribuição, isto é o vetor \vec p dado pela integral do momento de carga sobre todo o volume da semi-esfera.
Informações relevantes listadas:
  • Região de integração: semi-esfera de raio R — em coordenadas esféricas: 0\le r\le R, 0\le\theta\le\pi/2, 0\le\varphi\le 2\pi.
  • Densidade: \rho(\vec r)=\rho_{0}\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/R}.
  • Objetivo: calcular \vec p=\displaystyle\int \vec r\,\rho(\vec r)\,dV.

Passo 2

Apresento a fórmula que define o momento de dipolo elétrico para uma densidade volumétrica:
\vec p=\int_{\text{volume}} \vec r\,\rho(\vec r)\,dV.
Aqui \vec r é o vetor posição (do elemento de volume até a origem) e dV é o elemento de volume. Vou usar coordenadas esféricas, pois a região é uma semi-esfera e a densidade já está dada em (r,\theta,\varphi).

Passo 3

Recordando representações em coordenadas esféricas (úteis para montar a integral):
\vec r = r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}} + r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + r\cos\theta\,\hat{\mathbf{z}},
e o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Portanto a integral para cada componente será feita multiplicando a componente correspondente de \vec r por \rho(\vec r) e dV, e integrando sobre r,\theta,\varphi.

Passo 4

Escrevo explicitamente as três componentes do momento de dipolo:
p_x=\int r\sin\theta\cos\varphi\;\rho(\vec r)\;r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
p_y=\int r\sin\theta\sin\varphi\;\rho(\vec r)\;r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
p_z=\int r\cos\theta\;\rho(\vec r)\;r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Substituo \rho(\vec r)=\rho_{0}\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/R} em cada uma.

Passo 5

Calculo o integrando de p_x:
\text{integrando de }p_x = \rho_{0}\,(r\sin\theta\cos\varphi)\,(\sin\theta\cos\varphi\,e^{-r/R})\,r^{2}\sin\theta = \rho_{0}\,r^{3}e^{-r/R}\sin^{3}\theta\cos^{2}\varphi.
Logo
p_x=\rho_{0}\int_{0}^{R}r^{3}e^{-r/R}dr \;\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
Para p_y o integrando fica proporcional a \sin\varphi\cos\varphi. Especificamente:
\text{integrando de }p_y = \rho_{0}\,r^{3}e^{-r/R}\sin^{3}\theta\sin\varphi\cos\varphi,
e a integral em \varphi de 0 a 2\pi de \sin\varphi\cos\varphi é zero (função de período completa e paridade), logo
p_y=0.
Para p_z o integrando fica proporcional a \cos\varphi:
\text{integrando de }p_z = \rho_{0}\,r^{3}e^{-r/R}\sin^{2}\theta\cos\theta\cos\varphi,
e a integral em \varphi de \cos\varphi de 0 a 2\pi também é zero, portanto
p_z=0.
Conclusão de simetria: apenas p_x é diferente de zero; o vetor \vec p aponta na direção +\hat{\mathbf{x}} (por causa do fator \cos\varphi na densidade).

Passo 6

Vou calcular as três integrais separadas que aparecem em p_x.
  1. Integral radial:
I_r=\int_{0}^{R} r^{3} e^{-r/R}\,dr.
Faço a mudança de variável u=r/R, com dr=R\,du. Então
I_r = R^{4}\int_{0}^{1} u^{3} e^{-u}\,du.
Calculo J=\int_{0}^{1} u^{3} e^{-u}\,du por redução (integração por partes recorrente). Defino I_n=\int_{0}^{1} u^{n} e^{-u}\,du. Uma integração por partes dá a relação
I_n = n I_{n-1} - e^{-1},
com I_0=\int_{0}^{1} e^{-u}du = 1-e^{-1}.
Aplicando para n=1,2,3:
I_1 = 1\cdot I_0 - e^{-1} = 1 - 2e^{-1},
I_2 = 2 I_1 - e^{-1} = 2 - 5 e^{-1},
I_3 = 3 I_2 - e^{-1} = 6 - 16 e^{-1}.
Portanto
I_r = R^{4}\,(6 - 16 e^{-1}).

Passo 7

  1. Integral em \theta:
I_\theta=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.
Faço u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Então
I_\theta=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\sin\theta\,d\theta =\int_{1}^{0}(1-u^{2})(-du)=\int_{0}^{1}(1-u^{2})du = \left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  1. Integral em \varphi:
I_\varphi=\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
Uso a identidade \cos^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\varphi). Integrando:
I_\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\varphi + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos 2\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}(2\pi) + 0 = \pi.

Passo 8

Agora junto tudo para obter p_x:
p_x = \rho_{0}\; I_r\; I_\theta\; I_\varphi = \rho_{0}\; \big(R^{4}(6-16e^{-1})\big)\;\frac{2}{3}\;\pi.
Simplificando:
p_x = \pi \rho_{0} R^{4}\left(4 - \frac{32}{3}e^{-1}\right).
Uma forma alternativa equivalente e um pouco mais factorizada é
p_x = \frac{4\pi\rho_{0}R^{4}}{3}\left(3 - 8 e^{-1}\right).
Como p_y=p_z=0, o vetor momento de dipolo é
\vec p = p_x\,\hat{\mathbf{x}}.

Resposta

\displaystyle \vec p = \pi \rho_{0} R^{4}\left(4 - \frac{32}{3}e^{-1}\right)\,\hat{\mathbf{x}}

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