Aplica-se uma força oscilatória
, a partir de
, numa partícula de massa
que estava inicialmente em repousco na origem. (a) Determine
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a velocidade
e a posição
de uma partícula sujeita, a partir de
, à força oscilatória
sabendo que a partícula tem massa
e estava inicialmente em repouso na origem. As informações relevantes são:
-
para . - Massa:
. - Condições iniciais:
e . - Queremos explicitamente
e em função de , , e .
Passo 2
Relacionamento físico/matemático que usamos: a segunda lei de Newton diz que a força resultante é massa vezes aceleração. Em fórmula:
onde
é a aceleração instantânea e
. Assim a aceleração é
Explico:
é a amplitude da força,
é a frequência angular (em rad/s),
é a massa, e
tem unidades de velocidade por tempo.
Passo 3
Para integrar fica mais fácil usar a identidade trigonométrica
Aplicando com
obtemos
Substituindo em
:
Essa forma separa uma parte constante (média da força) e uma parte oscilante, o que facilita a integração.
Passo 4
Agora integramos
para obter
. Montamos a integral:
Integrando em relação a
:
Calcule cada termo:
-
-
Portanto
Usamos a condição inicial
. Avaliando
:
Logo
e obtemos
Uma forma alternativa, equivalente, é
Comentário físico rápido: aparece um termo linear em
porque a média temporal de
é não nula (igual a
), então existe um aumento de velocidade com o tempo.
Passo 5
Agora integramos
para obter
. Escrevemos
Usando a forma
, integramos termo a termo:
-
-
Somando e adicionando a constante:
Aplicamos a condição inicial
. Avaliando:
Logo
. Substituindo:
Podemos usar
para uma forma mais compacta:
Passo 6
Cheque rápido (derivação reversa): derivando
obtemos
e derivando
obtemos
, portanto as soluções estão consistentes com a força dada e as condições iniciais.