Aplica-se uma força oscilatória F(t)=F_{0} \sin ^{2} \omega t, a partir de t=0, numa partícula de massa m que estava inicialmente em repousco na origem. (a) Determine v(t) e x(t).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade v(t) e a posição x(t) de uma partícula sujeita, a partir de t=0, à força oscilatória
F(t)=F_{0}\sin^{2}\omega t,
sabendo que a partícula tem massa m e estava inicialmente em repouso na origem. As informações relevantes são:
  • F(t)=F_{0}\sin^{2}\omega t para t\ge 0.
  • Massa: m.
  • Condições iniciais: v(0)=0 e x(0)=0.
  • Queremos explicitamente v(t) e x(t) em função de t, F_{0}, \omega e m.

Passo 2

Relacionamento físico/matemático que usamos: a segunda lei de Newton diz que a força resultante é massa vezes aceleração. Em fórmula:
F(t)=m\,a(t),
onde a(t) é a aceleração instantânea e a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. Assim a aceleração é
a(t)=\frac{F(t)}{m}=\frac{F_{0}}{m}\sin^{2}\omega t.
Explico: F_{0} é a amplitude da força, \omega é a frequência angular (em rad/s), m é a massa, e a(t) tem unidades de velocidade por tempo.

Passo 3

Para integrar fica mais fácil usar a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\omega t obtemos
\sin^{2}\omega t=\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}.
Substituindo em a(t):
a(t)=\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}=\frac{F_{0}}{2m}\left(1-\cos(2\omega t)\right).
Essa forma separa uma parte constante (média da força) e uma parte oscilante, o que facilita a integração.

Passo 4

Agora integramos a(t)=dv/dt para obter v(t). Montamos a integral:
\frac{dv}{dt}=\frac{F_{0}}{2m}\left(1-\cos(2\omega t)\right).
Integrando em relação a t:
v(t)=\int \frac{F_{0}}{2m}\left(1-\cos(2\omega t)\right)\,dt + C_{1}.
Calcule cada termo:
  • \displaystyle \int 1\,dt = t.
  • \displaystyle \int \cos(2\omega t)\,dt=\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t).
    Portanto
v(t)=\frac{F_{0}}{2m}\left(t-\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t)\right)+C_{1}.
Usamos a condição inicial v(0)=0. Avaliando v(0):
v(0)=\frac{F_{0}}{2m}\left(0-\frac{1}{2\omega}\sin 0\right)+C_{1}=C_{1}=0.
Logo C_{1}=0 e obtemos
v(t)=\frac{F_{0}}{2m}\left(t-\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t)\right).
Uma forma alternativa, equivalente, é
v(t)=\frac{F_{0}}{2m}\,t-\frac{F_{0}}{4m\omega}\sin(2\omega t).
Comentário físico rápido: aparece um termo linear em t porque a média temporal de \sin^{2}\omega t é não nula (igual a 1/2), então existe um aumento de velocidade com o tempo.

Passo 5

Agora integramos v(t) para obter x(t). Escrevemos
x(t)=\int v(t)\,dt + C_{2}.
Usando a forma v(t)=\dfrac{F_{0}}{2m}t-\dfrac{F_{0}}{4m\omega}\sin(2\omega t), integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{F_{0}}{2m}t\,dt=\frac{F_{0}}{2m}\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{F_{0}}{4m}t^{2}.
  • \displaystyle \int -\frac{F_{0}}{4m\omega}\sin(2\omega t)\,dt=-\frac{F_{0}}{4m\omega}\cdot\left(-\frac{\cos(2\omega t)}{2\omega}\right)=\frac{F_{0}}{8m\omega^{2}}\cos(2\omega t).
    Somando e adicionando a constante C_{2}:
x(t)=\frac{F_{0}}{4m}t^{2}+\frac{F_{0}}{8m\omega^{2}}\cos(2\omega t)+C_{2}.
Aplicamos a condição inicial x(0)=0. Avaliando:
x(0)=\frac{F_{0}}{4m}\cdot 0+\frac{F_{0}}{8m\omega^{2}}\cos 0 + C_{2}=\frac{F_{0}}{8m\omega^{2}}+C_{2}=0.
Logo C_{2}=-\dfrac{F_{0}}{8m\omega^{2}}. Substituindo:
x(t)=\frac{F_{0}}{4m}t^{2}+\frac{F_{0}}{8m\omega^{2}}\bigl(\cos(2\omega t)-1\bigr).
Podemos usar \cos(2\omega t)-1=-2\sin^{2}\omega t para uma forma mais compacta:
x(t)=\frac{F_{0}}{4m}t^{2}-\frac{F_{0}}{4m\omega^{2}}\sin^{2}\omega t.

Passo 6

Cheque rápido (derivação reversa): derivando x(t) obtemos v(t) e derivando v(t) obtemos a(t)=\dfrac{F_{0}}{m}\sin^{2}\omega t, portanto as soluções estão consistentes com a força dada e as condições iniciais.

Resposta

v(t)=\frac{F_{0}}{2m}\left(t-\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t)\right)
x(t)=\frac{F_{0}}{4m}t^{2}-\frac{F_{0}}{4m\omega^{2}}\sin^{2}\omega t

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