(2,5 pontos) Calcule integral sin (x) e^2 x d x

Passo 1

Estamos resolvendo a integral integral sin(x)e^2x,dx. O conteúdo é integração por partes, que se baseia na fórmula abaixo. Vamos precisar aplicar essa fórmula duas vezes para lidar com funções trigonométricas e exponenciais:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos u = sin(x) e dv = e^2x,dx. Então
du = cos(x),dx e
v = integral e^2x,dx = tfrac12 e^2x
Definindo I = integral sin(x)e^2x,dx, aplicamos a fórmula de partes e obtemos:
I = tfrac12 e^2xsin(x) - tfrac12 integral e^2xcos(x),dx
Chamamos a integral remanescente de J = integral e^2xcos(x),dx.

Passo 3

Para calcular J, usamos u = cos(x) e dv = e^2x,dx. Assim
du = -sin(x),dx e
v = tfrac12 e^2x
Aplicando partes em J:
J = tfrac12 e^2xcos(x) - l(-tfrac12 integral e^2xsin(x),dxr) = tfrac12 e^2xcos(x) + tfrac12 I

Passo 4

Voltando para I, substituímos a expressão de J e obtemos:
I = tfrac12 e^2xsin(x) - tfrac12l(tfrac12 e^2xcos(x) + tfrac12 Ir)
Reorganizando:
I + tfrac14 I = tfrac12 e^2xsin(x) - tfrac14 e^2xcos(x) Longrightarrow tfrac54 I = e^2xl(tfrac12sin(x) - tfrac14cos(x)r)
Logo, isolando I:
I = e^2xl(tfrac25sin(x) - tfrac15cos(x)r) + C

Resposta

integral sin(x)e^2x,dx = e^2xl(tfrac25sin(x) - tfrac15cos(x)r) + C

Exercícios relacionados