(1,5 pontos) Calcule os limites, caso existam. Justifique suas afirmações.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{(x-1)^{2} y}{(x-1)^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O ponto de aproximação é (1,0).
  • A função é
f(x,y)=\frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}.
  • O denominador é (x-1)^{4}+y^{2}. Esse denominador se anula apenas quando x-1=0 e y=0 simultaneamente, isto é, exatamente no ponto (1,0). Então a função não está definida em (1,0), mas o limite pode existir mesmo assim.
  • A pergunta é: o limite existe? Se existir, qual é seu valor? Caso não exista, justificar.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método usado): para limites de funções de duas variáveis, uma forma simples e poderosa de testar existência é avaliar o limite ao longo de várias curvas (caminhos) que se aproximam do ponto. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe. Vou usar essa ideia de caminhos e escolher caminhos que “equilibrem” as ordens em (x-1) e y para simplificar a expressão.
Porque equilibrar ordens? Observe o denominador (x-1)^{4}+y^{2}: se y for da ordem de (x-1)^{2} (isto é, y\sim constante \times (x-1)^2), então os dois termos do denominador têm a mesma ordem (ambos ~ (x-1)^4), o que costuma produzir resultados não triviais no limite. Por isso vamos testar o caminho geral
y = m\,(x-1)^{2},
onde m é um número real fixo (parâmetro do caminho). Isso nos permite ver se o valor do limite depende de m — se depender, temos não existência do limite.

Passo 3

Fazer a substituição h=x-1 para simplificar a notação. Então (x,y)\to(1,0) equivale a (h,y)\to(0,0) com h\to0. Pelo caminho escolhido, y=m h^{2}. Substituindo na expressão:
\frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}=\frac{h^{2}\cdot (m h^{2})}{h^{4}+(m h^{2})^{2}}.
Agora simplifico os fatores de h:
\frac{h^{2}\cdot m h^{2}}{h^{4}+m^{2}h^{4}} =\frac{m h^{4}}{h^{4}(1+m^{2})} =\frac{m}{1+m^{2}}.
Importante: o cancelamento por h^{4} é válido para h\neq0 (estamos aproximando h\to0, não avaliando exatamente em h=0). Assim, ao longo do caminho y=m(x-1)^{2}, a expressão não depende mais de h e o limite, ao aproximar h\to0, é simplesmente
\frac{m}{1+m^{2}}.

Passo 4

Interpretação didática do resultado do Passo 3: o valor do limite ao longo do caminho y=m(x-1)^{2} é \dfrac{m}{1+m^{2}}, que depende do parâmetro m. Se o limite total existisse, teria que ser o mesmo para todo caminho (independente de m). Como aqui ele depende de m, já isso indica que o limite total não existe. Para deixar isso mais explícito, vou calcular dois exemplos concretos de caminhos com resultados diferentes.

Passo 5

Exemplos concretos de caminhos que dão resultados distintos:
  • Caminho 1: escolha m=0, ou seja y=0. Ao longo desse caminho,
\frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}=0
para todo x (com y=0), logo o limite ao longo desse caminho é 0.
  • Caminho 2: escolha m=1, ou seja y=(x-1)^{2}. Pelo resultado geral,
\lim_{(x,y)\to(1,0),\\ y=(x-1)^{2}} \frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como obtivemos 0 ao longo de um caminho e \tfrac{1}{2} ao longo de outro, os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos. Portanto o limite total não pode existir.

Passo 6

Complemento (opcional, para entender a amplitude dos valores possíveis): a função de m,
g(m)=\frac{m}{1+m^{2}},
atinge máximo 1/2 em m=1 e mínimo -1/2 em m=-1. Isso mostra que, variando m, os valores limites ao longo desses caminhos variam entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}. Assim há muitos valores diferentes possíveis, o que reforça a não existência de um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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