(1,5 pontos) Calcule os limites, caso existam. Justifique suas afirmações.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O ponto de aproximação é
. - A função é
- O denominador é
. Esse denominador se anula apenas quando e simultaneamente, isto é, exatamente no ponto . Então a função não está definida em , mas o limite pode existir mesmo assim. - A pergunta é: o limite existe? Se existir, qual é seu valor? Caso não exista, justificar.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método usado): para limites de funções de duas variáveis, uma forma simples e poderosa de testar existência é avaliar o limite ao longo de várias curvas (caminhos) que se aproximam do ponto. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe. Vou usar essa ideia de caminhos e escolher caminhos que “equilibrem” as ordens em
e
para simplificar a expressão.
Porque equilibrar ordens? Observe o denominador
: se
for da ordem de
(isto é,
constante
), então os dois termos do denominador têm a mesma ordem (ambos ~
), o que costuma produzir resultados não triviais no limite. Por isso vamos testar o caminho geral
onde
é um número real fixo (parâmetro do caminho). Isso nos permite ver se o valor do limite depende de
— se depender, temos não existência do limite.
Passo 3
Fazer a substituição
para simplificar a notação. Então
equivale a
com
. Pelo caminho escolhido,
. Substituindo na expressão:
Agora simplifico os fatores de
:
Importante: o cancelamento por
é válido para
(estamos aproximando
, não avaliando exatamente em
). Assim, ao longo do caminho
, a expressão não depende mais de
e o limite, ao aproximar
, é simplesmente
Passo 4
Interpretação didática do resultado do Passo 3: o valor do limite ao longo do caminho
é
, que depende do parâmetro
. Se o limite total existisse, teria que ser o mesmo para todo caminho (independente de
). Como aqui ele depende de
, já isso indica que o limite total não existe. Para deixar isso mais explícito, vou calcular dois exemplos concretos de caminhos com resultados diferentes.
Passo 5
Exemplos concretos de caminhos que dão resultados distintos:
- Caminho 1: escolha
, ou seja . Ao longo desse caminho,
para todo
(com
), logo o limite ao longo desse caminho é
.
- Caminho 2: escolha
, ou seja . Pelo resultado geral,
Como obtivemos
ao longo de um caminho e
ao longo de outro, os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos. Portanto o limite total não pode existir.
Passo 6
Complemento (opcional, para entender a amplitude dos valores possíveis): a função de
,
atinge máximo
em
e mínimo
em
. Isso mostra que, variando
, os valores limites ao longo desses caminhos variam entre
e
. Assim há muitos valores diferentes possíveis, o que reforça a não existência de um valor único.
Resposta
O limite não existe.