(3.5 pontos) Calcule os seguintes limites, se existirem.
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{x}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilateral
\lim_{x\to -3^{+}} \frac{x}{x^{2}-9}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-9}.
  • O ponto de interesse é x=-3, aproximando-se pela direita (valores ligeiramente maiores que -3).
  • Deve-se verificar o comportamento da função quando o denominador tende a zero pela direita.

Passo 2

Fatoro o denominador para ver melhor onde ocorre a singularidade:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Assim a função pode ser escrita como
\frac{x}{x^{2}-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}.

Passo 3

Identifico o problema: o denominador anula-se em x=3 e x=-3. Como estou estudando x\to-3^{+}, o fator que tende a zero é x+3. Para decidir o sinal e a direção do infinito, preciso analisar o sinal dos fatores próximos a -3.

Passo 4

Reescrevo a função isolando o fator que explode:
\frac{x}{(x-3)(x+3)}=\left(\frac{x}{x-3}\right)\cdot\frac{1}{x+3}.
Agora avalio a parte não singular quando x\to-3:
\lim_{x\to-3}\frac{x}{x-3}=\frac{-3}{-3-3}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2},
porque o numerador e o fator x-3 são contínuos em -3 e o denominador x-3 em -3 vale -6, diferente de zero.

Passo 5

Analiso o fator singular \dfrac{1}{x+3} quando x\to-3^{+}:
  • Para x>-3 muito próximo de -3, tem-se x+3>0 e muito pequeno.
  • Logo \dfrac{1}{x+3}\to +\infty quando x\to-3^{+}.
Multiplicando o comportamento pelo fator finito encontrado no passo anterior,
\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{x+3}\longrightarrow \frac{1}{2}\cdot(+\infty)=+\infty.

Passo 6

Interpretação final: a função tende a crescer sem limite positivo ao aproximar-se de -3 pela direita. Em termos de limite, isso é escrito como +\infty (ou seja, diverge para mais infinito).

Resposta

+\infty

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