Em um grupo ( G, * ), seja a \in G tal que a^{3}=e mas a \neq e e a^{2} \neq e. Se H=\left\{a^{n} ; n \in \mathbb{Z}\right\} é o conjunto de todas as potências inteiras de a, então:
(a) Use o algoritmo da divisão para mostrar que H=\left\{e, a, a^{2}\right\}.
(b) Mostre que a^{m}=e se, e somente se m \equiv 0(\bmod 3).
(c) Mostre que a^{m}=a^{n} se, e somente se m \equiv n(\bmod 3).

Passo 1

O enunciado nos dá um grupo (G,*), um elemento a\in G que satisfaz a^{3}=e e além disso a\neq e e a^{2}\neq e. Define-se
H=\{a^{n}\;:\;n\in\mathbb{Z}\},
o conjunto de todas as potências inteiras de a. O que o problema pede:
(a) Usar o algoritmo da divisão para mostrar que H=\{e,a,a^{2}\}.
(b) Mostrar que a^{m}=e se, e somente se, m\equiv 0\pmod{3}.
(c) Mostrar que a^{m}=a^{n} se, e somente se, m\equiv n\pmod{3}.

Passo 2

Explicando o algoritmo da divisão que vamos usar (muito importante): para qualquer inteiro n existe uma divisão por 3 com quociente q e resto r tal que
n=3q+r,
onde q\in\mathbb{Z} e o resto r pertence ao conjunto \{0,1,2\}. Ou seja, qualquer inteiro deixa resto 0, 1 ou 2 quando dividido por 3. Esse fato é o coração das próximas contas.

Passo 3

Aplicando o algoritmo da divisão a uma potência genérica a^{n}: escrevemos n=3q+r com r\in\{0,1,2\}. Então, usando as propriedades de potências em grupos (para inteiros k,\ell vale a^{k+\ell}=a^{k}a^{\ell} e (a^{k})^{\ell}=a^{k\ell}),
a^{n}=a^{3q+r}=(a^{3})^{q}a^{r}.
Como o enunciado dá a^{3}=e, temos (a^{3})^{q}=e^{q}=e. Portanto
a^{n}=e\cdot a^{r}=a^{r}.
Como r\in\{0,1,2\}, concluímos que qualquer potência a^{n} é igual a um dos elementos a^{0}=e, a^{1}=a ou a^{2}. Assim H\subseteq\{e,a,a^{2}\}.

Passo 4

Para completar (a) precisamos também ver que os três elementos e,a,a^{2} pertencem a H. Mas isso é direto pela definição de H: a^{0}=e\in H, a^{1}=a\in H e a^{2}\in H. Juntando com a inclusão do Passo 3 obtemos
H=\{e,a,a^{2}\},
o que resolve (a).

Passo 5

Agora (b). Primeiro a direção direta: se m\equiv 0\pmod{3} então m=3k para algum k\in\mathbb{Z}, e
a^{m}=a^{3k}=(a^{3})^{k}=e^{k}=e.
Agora a direção contrária: suponha a^{m}=e. Escrevemos m=3q+r com r\in\{0,1,2\}. Pelo cálculo do Passo 3,
a^{m}=a^{r}.
Como a^{m}=e temos a^{r}=e. Mas r\in\{0,1,2\} e sabemos do enunciado que a\neq e e a^{2}\neq e. Logo a única possibilidade é r=0. Portanto m=3q, isto é, m\equiv 0\pmod{3}. Isso prova que
a^{m}=e \quad\Longleftrightarrow\quad m\equiv 0\pmod{3}.

Passo 6

Finalmente (c). Mostramos que a^{m}=a^{n} ocorre exatamente quando m\equiv n\pmod{3}.
Primeiro, se m\equiv n\pmod{3}, então m-n=3k para algum k. Então
a^{m}=a^{n}a^{m-n}=a^{n}a^{3k}=a^{n}(a^{3})^{k}=a^{n}e^{k}=a^{n},
portanto a^{m}=a^{n}.
Agora a recíproca: suponha a^{m}=a^{n}. Multiplicando à direita por a^{-n} (existe inverso em grupo) obtemos
a^{m}a^{-n}=e.
Usando que a^{m}a^{-n}=a^{m-n} (propriedade de potências para inteiros) temos a^{m-n}=e. Aplicando o resultado de (b) ao inteiro m-n concluímos que m-n\equiv 0\pmod{3}, ou seja m\equiv n\pmod{3}. Portanto
a^{m}=a^{n} \quad\Longleftrightarrow\quad m\equiv n\pmod{3}.

Resposta

(a) H=\{e,a,a^{2}\}
(b) a^{m}=e se, e somente se, m\equiv 0\pmod{3}
(c) a^{m}=a^{n} se, e somente se, m\equiv n\pmod{3}

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