Em um grupo (
), seja
tal que
mas
e
. Se
é o conjunto de todas as potências inteiras de
, então:
(a) Use o algoritmo da divisão para mostrar que
.
(b) Mostre que
se, e somente se
.
(c) Mostre que
se, e somente se
.
(a) Use o algoritmo da divisão para mostrar que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá um grupo
, um elemento
que satisfaz
e além disso
e
. Define-se
o conjunto de todas as potências inteiras de
. O que o problema pede:
(a) Usar o algoritmo da divisão para mostrar que .
(b) Mostrar que se, e somente se,
.
(c) Mostrar que se, e somente se,
.
(a) Usar o algoritmo da divisão para mostrar que
(b) Mostrar que
(c) Mostrar que
Passo 2
Explicando o algoritmo da divisão que vamos usar (muito importante): para qualquer inteiro
existe uma divisão por
com quociente
e resto
tal que
onde
e o resto
pertence ao conjunto
. Ou seja, qualquer inteiro deixa resto
,
ou
quando dividido por
. Esse fato é o coração das próximas contas.
Passo 3
Aplicando o algoritmo da divisão a uma potência genérica
: escrevemos
com
. Então, usando as propriedades de potências em grupos (para inteiros
vale
e
),
Como o enunciado dá
, temos
. Portanto
Como
, concluímos que qualquer potência
é igual a um dos elementos
,
ou
. Assim
.
Passo 4
Para completar (a) precisamos também ver que os três elementos
pertencem a
. Mas isso é direto pela definição de
:
,
e
. Juntando com a inclusão do Passo 3 obtemos
o que resolve (a).
Passo 5
Agora (b). Primeiro a direção direta: se
então
para algum
, e
Agora a direção contrária: suponha
. Escrevemos
com
. Pelo cálculo do Passo 3,
Como
temos
. Mas
e sabemos do enunciado que
e
. Logo a única possibilidade é
. Portanto
, isto é,
. Isso prova que
Passo 6
Finalmente (c). Mostramos que
ocorre exatamente quando
.
Primeiro, se
, então
para algum
. Então
portanto
.
Agora a recíproca: suponha
. Multiplicando à direita por
(existe inverso em grupo) obtemos
Usando que
(propriedade de potências para inteiros) temos
. Aplicando o resultado de (b) ao inteiro
concluímos que
, ou seja
. Portanto
Resposta
(a)
(b)
se, e somente se,
(c)
se, e somente se,