( 2 pontos) Calcule a solução geral y da equação diferencial y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-14 y=e^{3 x}, sabendo que y(0)=5 e y^{\prime}(0)=15

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais. Mais precisamente, temos:
y'' + 2y' - 14y = e^{3x},
com as condições iniciais
y(0)=5,\qquad y'(0)=15.
As informações relevantes são: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo é e^{3x}. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação e as duas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (a parte "sem o e^{3x}"):
y'' + 2y' - 14y = 0.
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, tentamos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
r^{2} + 2r - 14 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para ar^2+br+c=0 as raízes são r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=2, c=-14. Assim
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-14)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+56}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{60}}{2}.
Como \sqrt{60}=2\sqrt{15}, temos
r=-1\pm\sqrt{15}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{(-1+\sqrt{15})x}+C_{2}e^{(-1-\sqrt{15})x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O termo fonte é e^{3x}. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=A e^{3x},
onde A é uma constante a determinar. Antes de aplicar, verificamos se r=3 é raiz da equação característica (caso de ressonância). As raízes da característica são r=-1\pm\sqrt{15}, numericamente aproximadamente 2{,}873 e -4{,}873; assim r=3 não coincide com nenhuma raiz, logo a forma A e^{3x} é adequada.
Calculamos as derivadas:
y_{p}'(x)=3A e^{3x},\qquad y_{p}''(x)=9A e^{3x}.
Substituindo na equação diferencial:
y_{p}'' + 2y_{p}' -14 y_{p} = (9A + 2\cdot 3A -14A)e^{3x}=(9A+6A-14A)e^{3x}=A e^{3x}.
Queremos que isso seja igual a e^{3x}, portanto
A e^{3x}=e^{3x}\quad\Rightarrow\quad A=1.
Assim
y_{p}(x)=e^{3x}.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{(-1+\sqrt{15})x}+C_{2}e^{(-1-\sqrt{15})x}+e^{3x}.
Agora usamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Da condição y(0)=5 temos
y(0)=C_{1}+C_{2}+1=5 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=4.
Calculamos a derivada geral para usar y'(0)=15. Derivando y(x):
y'(x)=C_{1}(-1+\sqrt{15})e^{(-1+\sqrt{15})x}+C_{2}(-1-\sqrt{15})e^{(-1-\sqrt{15})x}+3e^{3x}.
Em x=0 isso dá
y'(0)=C_{1}(-1+\sqrt{15})+C_{2}(-1-\sqrt{15})+3=15.
Logo
C_{1}(-1+\sqrt{15})+C_{2}(-1-\sqrt{15})=12.

Passo 5

Resolvemos o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=4,\\[4pt] (-1+\sqrt{15})C_{1}+(-1-\sqrt{15})C_{2}=12. \end{cases}
Da primeira equação C_{2}=4-C_{1}\]. Substituindo na segunda: \[(-1+\sqrt{15})C_{1}+(-1-\sqrt{15})(4-C_{1})=12.\] Expandindo: \[(-1+\sqrt{15})C_{1}+(-4-4\sqrt{15}+C_{1}+C_{1}\sqrt{15})=12.\] Agrupando os termos em \(C_{1}:
\bigl(-1+\sqrt{15}+1+\sqrt{15}\bigr)C_{1}-4-4\sqrt{15}=12.
Observando que -1+1=0 e \sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}, obtemos
2\sqrt{15}\,C_{1}-4-4\sqrt{15}=12.
Isolando C_{1}:
2\sqrt{15}\,C_{1}=12+4+4\sqrt{15}=16+4\sqrt{15},
C_{1}=\frac{16+4\sqrt{15}}{2\sqrt{15}}=\frac{8+2\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=2+\frac{8}{\sqrt{15}}.
Então
C_{2}=4-C_{1}=4-\left(2+\frac{8}{\sqrt{15}}\right)=2-\frac{8}{\sqrt{15}}.]

Passo 6

Finalmente substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral:
y(x)=\left(2+\frac{8}{\sqrt{15}}\right)e^{(-1+\sqrt{15})x}+\left(2-\frac{8}{\sqrt{15}}\right)e^{(-1-\sqrt{15})x}+e^{3x}.
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Força aí — você já tem a solução pronta para a prova!

Resposta

y(x)=\left(2+\dfrac{8}{\sqrt{15}}\right)e^{(-1+\sqrt{15})x}+\left(2-\dfrac{8}{\sqrt{15}}\right)e^{(-1-\sqrt{15})x}+e^{3x}

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