( 2 pontos) Calcule a solução geral y da equação diferencial
, sabendo que
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais. Mais precisamente, temos:
com as condições iniciais
As informações relevantes são: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo é
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaça a equação e as duas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (a parte "sem o
"):
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, tentamos uma solução do tipo
. Substituindo na equação obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
as raízes são
. Aqui
,
,
. Assim
Como
, temos
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O termo fonte é
. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular da forma
onde
é uma constante a determinar. Antes de aplicar, verificamos se
é raiz da equação característica (caso de ressonância). As raízes da característica são
, numericamente aproximadamente
e
; assim
não coincide com nenhuma raiz, logo a forma
é adequada.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Queremos que isso seja igual a
, portanto
Assim
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para achar
e
.
Da condição
temos
Calculamos a derivada geral para usar
. Derivando
:
Em
isso dá
Logo
Passo 5
Resolvemos o sistema linear para
Da primeira equação
:
Observando que
e
, obtemos
Isolando
:
Então
Passo 6
Finalmente substituímos
e
na solução geral:
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Força aí — você já tem a solução pronta para a prova!