(4 pontos) Um calorímetro de cobre com massa igual a 0,100 \mathrm{~kg} contém 0,160 kg de água e 0,018 \mathrm{~kg} de gelo em equilíbrio térmico na pressão atmosférica. Se um bloco de chumbo de 0,750 \mathrm{~kg} a uma temperatura de 155{ }^{\circ} \mathrm{C}; for colocado no recipiente, qual será a temperatura final de equilíbrio?
Dados:
  • Calor especifico do cobre: 390 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}
  • Calor especifico da água: 4190 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}
  • Calor especifico do chumbo: 130 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.K
  • Calor Latente de fusão da água: 334 \times 10^{3} \mathrm{~J} / \mathrm{Kg}
  • Calor Latente de vaporização da água: 2256 \times 10^{3} \mathrm{~J} / \mathrm{Kg}

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final de equilíbrio quando um bloco de chumbo quente é colocado num calorímetro que contém cobre, água e gelo em equilíbrio. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Massa do calorímetro (cobre): m_{cu}=0{,}100\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da água líquida inicial: m_{w}=0{,}160\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do gelo inicial: m_{ice}=0{,}018\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco de chumbo: m_{Pb}=0{,}750\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do bloco de chumbo: T_{Pb,i}=155^\circ\mathrm{C}.
  • Estado inicial do sistema água+gelo+calorímetro: equilíbrio térmico na pressão atmosférica ⇒ temperatura inicial T_{i}=0^\circ\mathrm{C} (mistura água/ gelo em equilíbrio).
  • Calores específicos:
    • cobre: c_{cu}=390\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • água: c_{w}=4190\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • chumbo: c_{Pb}=130\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calor latente de fusão da água: L_f=334\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Calor latente de vaporização foi dado, mas provavelmente não será necessário (vai-se verificar).
O que se pede: determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.

Passo 2

Breve revisão das ideias físicas e fórmulas que vou usar (sem pular etapas):
  • Conservação de energia térmica (sistema isolado): a energia perdida pelo corpo quente = energia ganha pelos corpos frios.
  • Aquecimento/ resfriamento sem mudança de fase: a quantidade de calor trocada é
Q = m\,c\,\Delta T
onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Troca de calor em mudança de fase (fusão no caso): a energia necessária para fundir massa m é
Q_{\text{fus}} = m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (energia por unidade de massa para mudar de sólido para líquido à temperatura de fusão).
  • No problema há duas etapas possíveis logicamente:
    1. O chumbo dá calor até 0^\circ\mathrm{C}. Se essa energia não for suficiente para fundir todo o gelo, o equilíbrio será a 0^\circ\mathrm{C} com parte do gelo permanecendo.
    2. Se der para fundir todo o gelo e ainda sobrar calor, então todo gelo vira água e o sistema aquece acima de 0^\circ\mathrm{C} até uma temperatura T_f>0^\circ\mathrm{C}. Nesse caso resolvemos a equação de balanço de energia incluindo a fusão completa mais o aquecimento das massas envolvidas.
  • Vou primeiro comparar a energia disponível do bloco de chumbo ao resfriar até 0^\circ\mathrm{C} com a energia necessária para fundir todo o gelo. Isso decide qual caso usar.

Passo 3

Calcular a energia que o chumbo liberaria ao se resfriar de 155^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{Pb\to0} = m_{Pb}\,c_{Pb}\,(T_{Pb,i}-0^\circ\mathrm{C}).
Substituindo:
Q_{Pb\to0} = 0{,}750\cdot130\cdot155 = 97{,}5\cdot155 = 15112{,}5\\ \mathrm{J}.
Calcular a energia necessária para fundir todo o gelo (mantendo temperatura 0^\circ\mathrm{C} durante a fusão):
Q_{\text{fus,total}} = m_{ice}\,L_f = 0{,}018\cdot(334\times10^{3}) = 6012\\ \mathrm{J}.
Comparação: Q_{Pb\to0}=15112{,}5\\ \mathrm{J} é maior que Q_{\text{fus,total}}=6012\\ \mathrm{J}. Portanto o chumbo tem calor suficiente para fundir todo o gelo e ainda sobrar energia. Assim o equilíbrio final terá temperatura T_f>0^\circ\mathrm{C}. Vamos agora escrever o balanço de energia para este caso.

Passo 4

Montar a equação de conservação de energia para T_f>0^\circ\mathrm{C}.
Energia liberada pelo chumbo ao resfriar de T_{Pb,i}=155^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{\text{lib}} = m_{Pb}\,c_{Pb}\,(T_{Pb,i}-T_f).
Energia absorvida pelo sistema (do estado inicial: cobre a 0^\circ\mathrm{C}, água líquida a 0^\circ\mathrm{C} e gelo a 0^\circ\mathrm{C}):
  • fusão do gelo: m_{ice}\,L_f,
  • aquecimento da água inicial (massa m_w) de 0^\circ\mathrm{C} a T_f: m_w\,c_w\,T_f,
  • aquecimento da água formada a partir do gelo (massa m_{ice}) de 0^\circ\mathrm{C} a T_f: m_{ice}\,c_w\,T_f,
  • aquecimento do calorímetro de cobre (massa m_{cu}) de 0^\circ\mathrm{C} a T_f: m_{cu}\,c_{cu}\,T_f.
Portanto balanço de energia:
m_{Pb}\,c_{Pb}\,(T_{Pb,i}-T_f) \;=\; m_{ice}\,L_f \;+\; \bigl(m_w\,c_w + m_{ice}\,c_w + m_{cu}\,c_{cu}\bigr)\,T_f.
Explicando: o lado esquerdo é o calor que o chumbo fornece ao esfriar; o lado direito é a soma do calor necessário para fundir o gelo e para aquecer todas as massas de 0^\circ\mathrm{C} até T_f.

Passo 5

Colocar números nas quantidades do termo à direita (capacidades térmicas combinadas) e na equação e resolver para T_f.
Calcular os termos de capacidade térmica:
m_{cu}\,c_{cu} = 0{,}100\cdot390 = 39{,}0\\ \mathrm{J/K}.
m_w\,c_w = 0{,}160\cdot4190 = 670{,}4\\ \mathrm{J/K}.
m_{ice}\,c_w = 0{,}018\cdot4190 = 75{,}42\\ \mathrm{J/K}.
Somando:
C_{\text{total}} = 39{,}0 + 670{,}4 + 75{,}42 = 784{,}82\\ \mathrm{J/K}.
Já calculamos m_{ice}\,L_f = 6012\\ \mathrm{J}. A energia disponível do chumbo ao resfriar de 155^\circ\mathrm{C} até T_f é
m_{Pb}\,c_{Pb}\,(T_{Pb,i}-T_f) = 0{,}750\cdot130\,(155 - T_f) = 97{,}5\,(155-T_f).
Expandindo o lado esquerdo numérico:
97{,}5\,(155-T_f) = 15112{,}5 - 97{,}5\,T_f.
Substituindo tudo no balanço:
15112{,}5 - 97{,}5\,T_f = 6012 + 784{,}82\,T_f.
Agora isolar T_f:
15112{,}5 - 6012 = 784{,}82\,T_f + 97{,}5\,T_f,
9100{,}5 = 882{,}32\,T_f,
T_f = \dfrac{9100{,}5}{882{,}32}.
Calcule o quociente (fazer contas passo a passo):
T_f \approx 10{,}31\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Verificação rápida de ordem de grandeza: valor positivo e bem abaixo de 100^\circ\mathrm{C}, portanto não houve vaporização.)

Passo 6

Interpretação e checagens finais (rápidas e práticas):
  • Concluímos que todo o gelo foi fundido (porque a energia disponível até 0^\circ\mathrm{C} era maior que a energia de fusão), e o sistema atingiu uma temperatura final de cerca de 10{,}31^\circ\mathrm{C}.
  • Não foi necessária considerar vaporização, pois T_f\ll100^\circ\mathrm{C}.
  • Resultado arredondado com precisão razoável: T_f\approx10{,}3^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\,10{,}31^\circ\mathrm{C}

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